9. Sınıf Üçgenlerde Benzerlik Nedir? Örnek çözümlü sorular Test 2

Benzer iki üçgenden birinin alanı 36 cm², diğerinin bir kenarı 12 cm'dir. İlk üçgende bu kenara karşılık gelen kenar 8 cm olduğuna göre, ikinci üçgenin alanı kaç cm²'dir?

A) 64
B) 81
C) 100
D) 121

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, benzer üçgenlerin alanları ile kenarları arasındaki ilişkiyi kullanacağız. Benzer üçgenler, karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olan üçgenlerdir. Bu tür üçgenlerde çok önemli bir kural vardır:

• Kural: Benzer iki üçgenin alanlarının oranı, bu üçgenlerin karşılıklı kenar uzunluklarının oranının karesine eşittir.

Şimdi bu kuralı kullanarak sorumuzu adım adım çözelim:

• Öncelikle, verilen bilgileri belirleyelim:
  • Birinci üçgenin alanı ($A_1$) = $36 \text{ cm}^2$
  • Birinci üçgenin bir kenarı ($k_1$) = $8 \text{ cm}$
  • İkinci üçgenin bu kenara karşılık gelen kenarı ($k_2$) = $12 \text{ cm}$
  • İkinci üçgenin alanı ($A_2$) = ? (Bunu bulacağız)
• Yukarıdaki kuralı matematiksel olarak ifade edelim:

  $rac{A_1}{A_2} = \left(rac{k_1}{k_2}\right)^2$

• Şimdi, verilen değerleri formülde yerine yazalım:

  $rac{36}{A_2} = \left(rac{8}{12}\right)^2$

• Önce kenarların oranını sadeleştirelim:

  $rac{8}{12}$ kesrini sadeleştirdiğimizde, hem payı hem de paydayı $4$'e bölebiliriz. Bu durumda $rac{8 \div 4}{12 \div 4} = rac{2}{3}$ olur.

• Şimdi bu oranı kare alalım:

  $\left(rac{2}{3}\right)^2 = rac{2^2}{3^2} = rac{4}{9}$

• Denklemimiz şu hale geldi:

  $rac{36}{A_2} = rac{4}{9}$

• Şimdi $A_2$ değerini bulmak için içler dışlar çarpımı yapalım:

  $4 \times A_2 = 36 \times 9$

• $36 \times 9$ işlemini yapalım:

  $36 \times 9 = 324$

• Denklemimiz:

  $4 \times A_2 = 324$

• Her iki tarafı $4$'e bölerek $A_2$'yi bulalım:

  $A_2 = rac{324}{4}$

  $A_2 = 81 \text{ cm}^2$

Buna göre, ikinci üçgenin alanı $81 \text{ cm}^2$'dir.

Cevap B seçeneğidir.