Mutlak Değer Fonksiyonu Nedir? Tanımı ve Grafiksel Gösterimi Test 2

Bir mutlak değer fonksiyonunun grafiği x eksenini (-1, 0) ve (5, 0) noktalarında kesmektedir. Bu fonksiyonun tepe noktasının koordinatları nedir?

A) (1, -3)
B) (2, -4)
C) (2, 3)
D) (3, -4)

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, bir mutlak değer fonksiyonunun grafiğinin x eksenini kestiği noktalar verilmiş ve bizden bu fonksiyonun tepe noktasının koordinatlarını bulmamız isteniyor. Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri V şeklindedir ve bu V şeklinin tepe noktası, grafiğin en alt veya en üst noktasıdır. Bu noktayı bulmak için grafiğin simetri özelliğini kullanacağız.

• 1. Adım: x-eksenini kesen noktaları belirleyelim.

  Soruda verilen bilgilere göre, grafik x eksenini $(-1, 0)$ ve $(5, 0)$ noktalarında kesmektedir. Bu noktalar, fonksiyonun $y=0$ olduğu yerlerdir.

• 2. Adım: Tepe noktasının x-koordinatını bulalım.

  Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri, tepe noktasından geçen dikey bir doğruya göre simetriktir. Bu nedenle, x-eksenini kestiği noktaların x-koordinatları, tepe noktasının x-koordinatına göre simetrik olacaktır. Yani, tepe noktasının x-koordinatı, bu iki x-koordinatının tam ortasında yer alır. Ortalama alarak bulabiliriz:

  $x_{tepe} = \frac{x_1 + x_2}{2}$

  $x_{tepe} = \frac{-1 + 5}{2}$

  $x_{tepe} = \frac{4}{2}$

  $x_{tepe} = 2$

  Buna göre, tepe noktasının x-koordinatı $2$'dir. Seçeneklere baktığımızda, A) $(1, -3)$, B) $(2, -4)$, C) $(2, 3)$, D) $(3, -4)$ seçeneklerinden B ve C seçenekleri bu koşulu sağlamaktadır.

• 3. Adım: Tepe noktasının y-koordinatını bulalım.

  Bir mutlak değer fonksiyonunun grafiği x eksenini iki farklı noktada kesiyorsa, bu V şeklinin tepe noktası x ekseninin üzerinde olamaz (eğer üzerinde olsaydı, sadece bir noktada keserdi). Tepe noktası ya x ekseninin altında (V yukarı doğru açılıyorsa) ya da x ekseninin üstünde (V aşağı doğru açılıyorsa) olmalıdır.

  Genel mutlak değer fonksiyonu $y = a|x-h|+k$ şeklindedir, burada $(h, k)$ tepe noktasıdır. Biz $h=2$ bulduk, yani fonksiyon $y = a|x-2|+k$ şeklindedir.

  x-eksenini kesen noktaları kullanarak $k$ ve $a$ arasındaki ilişkiyi bulabiliriz. Örneğin, $(-1, 0)$ noktasını kullanalım:

  $0 = a|-1-2|+k$

  $0 = a|-3|+k$

  $0 = 3a+k$

  Buradan $k = -3a$ sonucunu elde ederiz.

  Şimdi seçeneklerimize geri dönelim:

  • Eğer tepe noktası $(2, 3)$ olsaydı (C seçeneği), o zaman $k=3$ olurdu. $3 = -3a \Rightarrow a = -1$. Bu durumda fonksiyon $y = -|x-2|+3$ olurdu. Bu fonksiyonun grafiği aşağı doğru açılır ve tepe noktası x ekseninin üzerindedir. Bu, verilen x-kesişim noktalarıyla uyumludur.
  • Eğer tepe noktası $(2, -4)$ olsaydı (B seçeneği), o zaman $k=-4$ olurdu. $-4 = -3a \Rightarrow a = \frac{4}{3}$. Bu durumda fonksiyon $y = \frac{4}{3}|x-2|-4$ olurdu. Bu fonksiyonun grafiği yukarı doğru açılır ve tepe noktası x ekseninin altındadır. Bu da verilen x-kesişim noktalarıyla uyumludur.

  Her iki durum da matematiksel olarak mümkündür. Ancak, genellikle bu tür sorularda, eğer belirtilmemişse, mutlak değer fonksiyonunun "standart" bir V şekli (yani yukarı doğru açılan bir grafik) olduğu varsayılır. Eğer grafik yukarı doğru açılıyorsa ($a>0$), ve x eksenini iki farklı noktada kesiyorsa, tepe noktasının y-koordinatı negatif olmalıdır.

  Seçenekler arasında, $x=2$ olan ve y-koordinatı negatif olan tek seçenek B) $(2, -4)$'tür. Bu, grafiğin yukarı doğru açıldığını ve tepe noktasının x ekseninin altında olduğunu gösterir.

• 4. Adım: Doğru seçeneği belirleyelim.

  Tepe noktasının x-koordinatı $2$ ve y-koordinatı, yukarıda belirtilen yaygın varsayım altında, negatif olmalıdır. Bu koşulları sağlayan tek seçenek B) $(2, -4)$'tür.

Cevap B seçeneğidir.