Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu problemde ardışık üç sayının belirli bir özelliğini kullanarak bu sayıların toplamını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Ardışık Sayıları Belirleyelim:
Ardışık üç sayıyı temsil etmek için ortadaki sayıyı $x$ olarak alalım. Bu durumda, diğer iki sayı $x-1$ (bir önceki sayı) ve $x+1$ (bir sonraki sayı) olacaktır.
Yani sayılarımız: $x-1$, $x$, $x+1$.
- 2. Denklemi Kuralım:
Soruda verilen bilgiye göre, "Ardışık üç sayının çarpımı, ortanca sayının 24 katına eşittir." Bu ifadeyi matematiksel bir denkleme dönüştürelim:
$(x-1) \cdot x \cdot (x+1) = 24 \cdot x$
- 3. Denklemi Çözelim:
Şimdi bu denklemi $x$ değerini bulmak için çözelim.
Denklemin her iki tarafında da $x$ çarpanı bulunmaktadır.
$(x-1) \cdot x \cdot (x+1) = 24x$
Denklemi düzenleyelim:
$x \cdot (x^2 - 1^2) = 24x$ (Burada $(x-1)(x+1)$ ifadesi iki kare farkı özdeşliğidir: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$)
$x(x^2 - 1) = 24x$
Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:
$x^3 - x - 24x = 0$
$x^3 - 25x = 0$
Ortak çarpan olan $x$'i dışarı alalım:
$x(x^2 - 25) = 0$
Bu denklemin çözümleri için iki durum vardır:
Durum 1: $x = 0$
Eğer $x=0$ ise, sayılarımız $-1, 0, 1$ olur.
Çarpımları: $(-1) \cdot 0 \cdot 1 = 0$.
Ortanca sayının 24 katı: $24 \cdot 0 = 0$.
Koşul sağlanır. Bu sayıların toplamı: $(-1) + 0 + 1 = 0$.
Durum 2: $x^2 - 25 = 0$
$x^2 = 25$
Bu denklemin iki çözümü vardır: $x = 5$ veya $x = -5$.
Alt Durum 2a: $x = 5$
Ortanca sayı $5$ ise, sayılarımız $x-1=4$, $x=5$, $x+1=6$ olur.
Çarpımları: $4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$.
Ortanca sayının 24 katı: $24 \cdot 5 = 120$.
Koşul sağlanır. Bu sayıların toplamı: $4 + 5 + 6 = 15$.
Alt Durum 2b: $x = -5$
Ortanca sayı $-5$ ise, sayılarımız $x-1=-6$, $x=-5$, $x+1=-4$ olur.
Çarpımları: $(-6) \cdot (-5) \cdot (-4) = 30 \cdot (-4) = -120$.
Ortanca sayının 24 katı: $24 \cdot (-5) = -120$.
Koşul sağlanır. Bu sayıların toplamı: $(-6) + (-5) + (-4) = -15$.
- 4. Sayıların Toplamını Bulalım:
Soruda "Bu sayıların toplamı kaçtır?" diye soruluyor. Bulduğumuz geçerli sayı kümeleri ve toplamları şunlardır:
- Sayılar: $-1, 0, 1$ ise toplam $0$.
- Sayılar: $4, 5, 6$ ise toplam $15$.
- Sayılar: $-6, -5, -4$ ise toplam $-15$.
Seçeneklere baktığımızda, $15$ (A seçeneği) mevcuttur.
Cevap B seçeneğidir.
