Soru:
\( f: R \to R \) olmak üzere, \( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3} \) fonksiyonu veriliyor. Buna göre, \( f^{-1}(2) \) kaçtır?
Çözüm:
💡 Bir fonksiyonun tersinin bir noktadaki değerini bulmak için, fonksiyonu o değere eşitleyip x'i bulmak gerekir. Yani \( f(a) = 2 \) ise \( f^{-1}(2) = a \)'dır.
- ➡️ \( f(x) = 2 \) yazalım ve x'i çözelim.
- ➡️ \( \frac{2x - 1}{x + 3} = 2 \)
- ➡️ İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 2x - 1 = 2(x + 3) \)
- ➡️ Denklemi açalım: \( 2x - 1 = 2x + 6 \)
- ➡️ \( 2x \)'ler sadeleşir: \( -1 = 6 \) ❌ Bu bir çelişkidir.
- ➡️ Bu durum, hiçbir x değeri için \( f(x) = 2 \) olamayacağını mı gösterir? Hayır, işlemi kontrol edelim. Paydayı sıfır yapmayan bir değer aramalıyız. Denklemi doğru kuralım: \( \frac{2x-1}{x+3} = 2 \) → \( 2x-1 = 2(x+3) \) → \( 2x-1=2x+6 \) → \( -1=6 \) Bu imkansızdır. Demek ki 2 değeri bu fonksiyonun görüntü kümesinde yoktur. Ancak soru bize \( f^{-1}(2) \)'yi soruyor. Bu, fonksiyonun tersinin tanım kümesinde 2 olmadığı anlamına gelir. Fakat sorunun bir püf noktası var: Ters fonksiyonun kuralını bulup x=2 yazabiliriz.
- ➡️ \( y = \frac{2x-1}{x+3} \) diyelim ve x'i yalnız bırakalım. \( y(x+3) = 2x - 1 \) → \( yx + 3y = 2x - 1 \) → \( yx - 2x = -1 - 3y \) → \( x(y - 2) = -1 - 3y \) → \( x = \frac{-1 - 3y}{y - 2} \)
- ➡️ O halde, \( f^{-1}(x) = \frac{-1 - 3x}{x - 2} \) olur.
- ➡️ Şimdi \( f^{-1}(2) \)'yi bulalım: \( f^{-1}(2) = \frac{-1 - 3(2)}{2 - 2} = \frac{-7}{0} \) ⚠️ Bu tanımsızdır.
✅ Sonuç olarak, \( f^{-1}(2) \) tanımsızdır çünkü 2 değeri orijinal fonksiyonun görüntü kümesinde yer almaz.
