Soru:
Bir dik dairesel koninin yüksekliği 12 cm ve taban yarıçapı 5 cm'dir. Bu koni, tabanına paralel bir düzlemle kesiliyor ve kesit düzleminin tepe noktasına uzaklığı 6 cm'dir. Oluşan küçük koninin hacmi kaç \( \pi \) cm³'tür?
Çözüm:
💡 Benzerlik oranını kullanarak küçük koninin boyutlarını bulacağız.
- ➡️ Büyük koni ve tepe noktasından kesilerek oluşan küçük koni benzerdir.
- ➡️ Benzerlik oranı, yükseklikler oranına eşittir. Küçük koninin yüksekliği 6 cm, büyük koninin yüksekliği 12 cm'dir. O halde benzerlik oranı \( \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)'dir.
- ➡️ Bu durumda, küçük koninin yarıçapı da büyük koninin yarıçapının yarısı kadar olacaktır. \( r_{küçük} = 5 \times \frac{1}{2} = 2.5 \) cm.
- ➡️ Küçük koninin hacmi: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2.5)^2 (6) \)
- ➡️ Hesaplayalım: \( V = \frac{1}{3} \pi (6.25)(6) = \frac{1}{3} \pi (37.5) = 12.5\pi \)
✅ Küçük koninin hacmi \( 12.5\pi \) cm³'tür.
