Soru:
Bir \( P(x) \) polinomu için \( P(x+1) + P(2x-1) = 12x - 4 \) eşitliği veriliyor. Buna göre, \( P(3) \) kaçtır?
Çözüm:
💡 Polinomun derecesini bulmak için deneyelim. Sağ taraf 1. dereceden olduğundan, \( P(x) = ax + b \) şeklinde 1. dereceden bir polinom olduğunu varsayalım.
- ➡️ \( P(x) = ax + b \) olsun.
- ➡️ \( P(x+1) = a(x+1) + b = ax + a + b \)
- ➡️ \( P(2x-1) = a(2x-1) + b = 2ax - a + b \)
- ➡️ Toplam: \( (ax + a + b) + (2ax - a + b) = 3ax + (a + b - a + b) = 3ax + 2b \)
- ➡️ Verilen denklem: \( 3ax + 2b = 12x - 4 \)
- ➡️ Katsayıları eşitleyelim: \( 3a = 12 \) → \( a = 4 \) ve \( 2b = -4 \) → \( b = -2 \)
- ➡️ O halde, \( P(x) = 4x - 2 \) bulunur.
✅ \( P(3) = 4(3) - 2 = 12 - 2 = 10 \) sonucuna ulaşırız.
