Soru:
\( f(x) = x^2 - 5 \) fonksiyonunun (2, 3) aralığında bir kökü olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
💡 Bir fonksiyonun bir aralıkta kökü olması demek, o aralıkta fonksiyon değerinin sıfır olduğu en az bir nokta bulunması demektir. Bunu göstermek için arada olma özelliğini kullanırız.
- ➡️ İlk adım, fonksiyonun ilgili aralıkta sürekli olup olmadığını kontrol etmektir. \( f(x) = x^2 - 5 \) bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda süreklidir. Dolayısıyla [2, 3] aralığında da süreklidir.
- ➡️ İkinci adım, aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplamak ve işaretlerine bakmaktır.
\( f(2) = (2)^2 - 5 = 4 - 5 = -1 \) (Negatif)
\( f(3) = (3)^2 - 5 = 9 - 5 = 4 \) (Pozitif)
- ➡️ Üçüncü adım, arada olma özelliğini uygulamaktır. Fonksiyon [2, 3] aralığında süreklidir ve uç noktalardaki değerleri \( f(2) = -1 < 0 \) ve \( f(3) = 4 > 0 \) şeklinde zıt işaretlidir.
✅ Arada olma özelliğine göre, \( f(c) = 0 \) eşitliğini sağlayan en az bir \( c \in (2, 3) \) noktası vardır. Yani fonksiyonun (2, 3) aralığında bir kökü vardır.
