Arada olma özelliğinin kullanıldığı yerler nelerdir?

Bir dağcı, sabah 08:00'da 500 metre yükseklikte bulunan A kampından yola çıkıyor ve 14:00'da 2000 metre yükseklikteki B kampına varıyor. Yol boyunca sürekli yürüdüğünü ve irtifa değişiminin sürekli olduğunu varsayarsak, bu dağcının tam olarak 1000 metre irtifadan geçtiğini nasıl ispatlarsınız?

💡 Bu problem, gerçek hayattan bir arada olma özelliği uygulamasıdır. Zamanı bağımsız değişken, irtifayı da fonksiyon değeri olarak düşünebiliriz.

• ➡️ İlk adım, fonksiyonu tanımlamaktır. \( h(t) \), dağcının \( t \) anındaki yüksekliği olsun. \( t=0 \) (08:00) için \( h(0) = 500 \) m ve \( t=6 \) (14:00) için \( h(6) = 2000 \) m'dir.
• ➡️ İkinci adım, fonksiyonun sürekliliğini kontrol etmektir. Problemde "sürekli yürüdüğü" ve "irtifa değişiminin sürekli olduğu" belirtilmiştir. Bu, \( h(t) \) fonksiyonunun [0, 6] saat aralığında sürekli olduğu anlamına gelir.
• ➡️ Üçüncü adım, arada olma özelliğini uygulamaktır. Hedef irtifa 1000 metredir. \( h(0) = 500 \) ve \( h(6) = 2000 \) olduğuna göre, 1000 değeri bu iki uç değer arasındadır (\(500 < 1000 < 2000\)).

✅ Arada olma özelliğine göre, sürekli olan \( h(t) \) fonksiyonu, [0, 6] zaman aralığında 500 ile 2000 arasındaki her değeri, dolayısıyla 1000 değerini de almak zorundadır. Bu da dağcının yolculuğu sırasında tam olarak 1000 metre irtifadan geçtiği anlamına gelir. 🏔️