8 ile bölünebilme kuralı

Beş basamaklı 42A3B sayısı 8 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre, A'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

💡 8 ile bölünebilme kuralını uygulayarak son üç basamağa, yani A3B sayısına bakarız.

• ➡️ A3B sayısının 8'e tam bölünmesi gerekir. Bu, 100A + 30 + B şeklinde de yazılabilir.
• ➡️ Pratik çözüm için B'ye değer verip A'yı bulabiliriz. B rakamı 0'dan 9'a kadar değişir.
• ➡️ Örneğin, B=0 için A30 sayısı 8'e bölünmeli. 430 ÷ 8'in kalanı 6'dır. A=4 için 430? Hayır, A30 için A'yı deneyelim: 130 (bölünmez), 230 (bölünmez), 330 (bölünmez), 430 (bölünmez), 530 (bölünmez), 630 (bölünmez), 730 (bölünmez), 830 (8'e bölünür! 830÷8=103.75? Hayır, tam değil). 8'e bölünenleri listeleyelim.
• ➡️ Daha sistematik ilerlersek: A3B sayısı 8'e bölünüyorsa, A3B ≡ 0 (mod 8). B'nin her değeri için A'yı buluruz.
  • B=0 için: A30. 304, 312, 320,... aralığında 8'e bölünenler: 304 (A=3), 312 (A=1), 320 (A=2), 328 (A=3), 336 (A=3), ... Hata yapmamak için 100A+30 sayısının mod 8'ini inceleyelim: 100A ≡ 4A (mod 8) çünkü 100÷8=12 kalan 4. 30≡6 (mod 8). Yani 4A + 6 + B ≡ 0 (mod 8) -> 4A + B + 6 ≡ 0 (mod 8) -> 4A + B ≡ 2 (mod 8).
  • ➡️ Şimdi B'yi 0'dan 9'a kadar deneyip A'nın rakam olmasını (0-9) sağlayan değerleri bulalım:
    • B=0: 4A ≡ 2 (mod 8) -> A= (2, 10,...) -> A= (2/4 değil). A= (2, 10) -> A=2 için 4*2=8≡0, 0≠2. A= (9? 4*9=36≡4, 4≠2). Denklem 4A ≡ 2 (mod 8). 4A mod8: 0,4,0,4,... 2 hiç olmaz. B=0 için ÇÖK.
    • B=1: 4A ≡ 1 (mod 8) -> 4A mod8: 0,4,... 1 hiç olmaz. ÇÖK.
    • B=2: 4A ≡ 0 (mod 8) -> A=0,2,4,6,8.
    • B=3: 4A ≡ 7 (mod 8) -> 4A mod8: 0,4,... 7 hiç olmaz. ÇÖK.
    • B=4: 4A ≡ 6 (mod 8) -> 4A mod8: 0,4,... 6 hiç olmaz. ÇÖK.
    • B=5: 4A ≡ 5 (mod 8) -> 4A mod8: 0,4,... 5 hiç olmaz. ÇÖK.
    • B=6: 4A ≡ 4 (mod 8) -> A=1,3,5,7,9.
    • B=7: 4A ≡ 3 (mod 8) -> 4A mod8: 0,4,... 3 hiç olmaz. ÇÖK.
    • B=8: 4A ≡ 2 (mod 8) -> 4A mod8: 0,4,... 2 hiç olmaz. ÇÖK.
    • B=9: 4A ≡ 1 (mod 8) -> 4A mod8: 0,4,... 1 hiç olmaz. ÇÖK.
• ➡️ Sadece B=2 ve B=6 için A rakam değerleri vardır.
  • B=2 için A = {0, 2, 4, 6, 8}
  • B=6 için A = {1, 3, 5, 7, 9}
• ➡️ A'nın alabileceği tüm değerler: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Yani 0'dan 9'a kadar tüm rakamlar!

✅ Sonuç: A'nın alabileceği değerler toplamı 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45'tir.