Soru:
\(\log_{\frac{1}{3}} (2x + 1) \ge -1\) eşitsizliğini sağlayan \(x\) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Burada taban 0 ile 1 arasında olduğu için eşitsizlik yönü logaritma kaldırılırken tersine dönecektir.
- ➡️ 1. Adım: Tanım Kümesi - Logaritmanın içi pozitif olmalı: \(2x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}\).
- ➡️ 2. Adım: Eşitsizliği Çözme - Taban \(0 < \frac{1}{3} < 1\) olduğundan, eşitsizlik yön değiştirir: \(2x + 1 \le \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}\). \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3\) olduğundan, \(2x + 1 \le 3 \Rightarrow 2x \le 2 \Rightarrow x \le 1\).
- ➡️ 3. Adım: Çözüm Kümesini Birleştirme - Tanım kümesi (\(x > -0.5\)) ve eşitsizlik çözümünü (\(x \le 1\)) kesiştirelim.
✅ Sonuç: Çözüm kümesi \( \{ x \mid -\frac{1}{2} < x \le 1 \} \) veya aralık gösterimiyle \((-\frac{1}{2}, 1]\)'dir.
