Soru:
\(\log (x^2 - 4) \ge \log (3x)\) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. (Logaritma 10 tabanındadır.)
Çözüm:
💡 Bu tip eşitsizliklerde, her iki tarafın da logaritması alınabildiği için içlerini doğrudan karşılaştırabiliriz, ancak tanım kümesi çok önemlidir.
- ➡️ 1. Adım: Tanım Kümesi - Her iki logaritmanın içi de pozitif olmalı:
- \(x^2 - 4 > 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) > 0 \Rightarrow x < -2\) veya \(x > 2\).
- \(3x > 0 \Rightarrow x > 0\).
Bu iki koşulun kesişimi \(x > 2\)'dir.
- ➡️ 2. Adım: Eşitsizliği Çözme - Taban 10 (1'den büyük) olduğu için eşitsizlik yönü değişmez. Logaritmaları sadeleştirip içleri karşılaştıralım: \(x^2 - 4 \ge 3x\). Buradan \(x^2 - 3x - 4 \ge 0\) elde edilir. Denklemi çözelim: \((x - 4)(x + 1) \ge 0 \Rightarrow x \le -1\) veya \(x \ge 4\).
- ➡️ 3. Adım: Çözüm Kümesini Birleştirme - Tanım kümesi (\(x > 2\)) ile eşitsizlik çözümünü (\(x \le -1\) veya \(x \ge 4\)) kesiştirelim.
✅ Sonuç: \(x > 2\) ve \(x \ge 4\) koşullarının kesişimi \(x \ge 4\)'tür. Çözüm kümesi \([4, \infty)\).
