Soru:
\(\ln(x - 5) + \ln(x + 1) < \ln 7\) eşitsizliğini sağlayan \(x\) tam sayılarının toplamını bulunuz.
Çözüm:
💡 Logaritma kurallarını kullanarak ifadeyi sadeleştirebiliriz. Unutma: \(\ln a + \ln b = \ln(ab)\).
- ➡️ 1. Adım: Tanım Kümesi - Tüm logaritma içleri pozitif olmalı:
- \(x - 5 > 0 \Rightarrow x > 5\)
- \(x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1\)
Bu iki koşulun kesişimi \(x > 5\)'tir.
- ➡️ 2. Adım: Eşitsizliği Sadeleştirme - Sol tarafı birleştirelim: \(\ln((x-5)(x+1)) < \ln 7\). Doğal logaritmanın tabanı \(e > 1\) olduğu için eşitsizlik yönü değişmez: \((x-5)(x+1) < 7\).
- ➡️ 3. Adım: İkinci Dereceden Eşitsizliği Çözme - \(x^2 - 4x - 5 < 7 \Rightarrow x^2 - 4x - 12 < 0\). Denklemi çözelim: \((x - 6)(x + 2) < 0\). Bu eşitsizliğin çözüm kümesi \(-2 < x < 6\)'dır.
- ➡️ 4. Adım: Çözüm Kümesini Birleştirme - Tanım kümesi (\(x > 5\)) ile eşitsizlik çözümünü (\(-2 < x < 6\)) kesiştirelim: \(5 < x < 6\).
- ➡️ 5. Adım: Tam Sayıları Bulma - Bu aralıktaki tek tam sayı yoktur.
✅ Sonuç: Koşulu sağlayan herhangi bir tam sayı olmadığı için, bu tam sayıların toplamı \(0\)'dır.
