Soru:
Aşağıdaki limiti hesaplayınız: \(\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3}\)
Çözüm:
Bu limit doğrudan \(x = 3\) yazıldığında \(\frac{0}{0}\) belirsizliği oluşur. 💡 Bu tür belirsizlikleri çözmek için eşlenik ifade ile genişletme yöntemini kullanabiliriz.
- ➡️ İlk adım: Payı ve paydayı, payın eşleniği olan \(\sqrt{x+1} + 2\) ile çarp. \(\frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3} \cdot \frac{\sqrt{x+1} + 2}{\sqrt{x+1} + 2}\)
- ➡️ İkinci adım: Payda iki kare farkı özdeşliğini uygula. \((\sqrt{x+1} - 2)(\sqrt{x+1} + 2) = (x+1) - 4 = x - 3\)
- ➡️ Üçüncü adım: İfadeyi yeniden yaz. \(\frac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x+1} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + 2}\) (Burada \(x \neq 3\) olduğunu unutma!)
- ➡️ Dördüncü adım: Sadeleştirilmiş ifadenin limitini al. \(\lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}\)
✅ Sonuç: Limit değeri \(\frac{1}{4}\)'tür.
