Soru:
Aşağıdaki limiti hesaplayınız: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x}\)
Çözüm:
Bu limit doğrudan \(x = 0\) yazıldığında \(\frac{0}{0}\) belirsizliği oluşur. 💡 Bu tür belirsizlikleri çözmek için trigonometrik limit özelliğini (\(\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1\)) kullanabiliriz.
- ➡️ İlk adım: İfadeyi, limit özelliğindeki forma uygun hale getirmek için düzenle. \(\frac{\sin(5x)}{3x} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x}\)
- ➡️ İkinci adım: \(u = 5x\) değişken değiştirmesini yap. \(x \to 0\) iken \(u \to 0\) olur.
- ➡️ Üçüncü adım: Limiti yeni değişkene göre yaz ve özelliği uygula. \(\lim_{x \to 0} \frac{5}{3} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x} = \frac{5}{3} \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = \frac{5}{3} \cdot 1\)
✅ Sonuç: Limit değeri \(\frac{5}{3}\)'tür.
