Soru:
Aşağıdaki limiti hesaplayınız: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - 1}\)
Çözüm:
Bu limit doğrudan \(x = 1\) yazıldığında \(\frac{0}{0}\) belirsizliği oluşur. 💡 Bu tür belirsizlikleri çözmek için polinom bölmesi veya çarpanlara ayırma yöntemini kullanabiliriz.
- ➡️ İlk adım: Pay ve paydayı çarpanlarına ayır. Pay için \(x=1\) değeri payı sıfır yaptığından, \((x-1)\) bir çarpandır. Polinom bölmesi veya gruplandırma ile \(x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)\) bulunur. Payda ise \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\)'dir.
- ➡️ İkinci adım: Pay ve paydadaki ortak çarpanı sadeleştir. \(\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{x + 1}\) (Burada \(x \neq 1\) olduğunu unutma!)
- ➡️ Üçüncü adım: Sadeleştirilmiş ifadenin limitini al. \(\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 2)}{x + 1} = \frac{(1 - 1)(1 + 2)}{1 + 1} = \frac{0 \cdot 3}{2} = 0\)
✅ Sonuç: Limit değeri 0'dır.
