Soru:
\( g(x) = \frac{x^2 + 4x + 5}{x + 3} \) fonksiyonunun asimptotlarını bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu fonksiyonda payın derecesi (2) paydanın derecesinden (1) büyük olduğu için eğik asimptot vardır. Ayrıca paydayı sıfır yapan değer düşey asimptottur.
- ➡️ Düşey Asimptot: Paydayı sıfır yapan \(x\) değeri: \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\). Limit kontrolü: \(x \to -3^+\) için \(g(x) \to +\infty\), \(x \to -3^-\) için \(g(x) \to -\infty\). Sonuç: \(x = -3\) düşey asimptottur.
- ➡️ Eğik Asimptot: Polinom bölmesi yapalım: \((x^2 + 4x + 5) \div (x + 3)\). Bölüm \(x + 1\), kalan \(2\)'dir. Yani \( g(x) = x + 1 + \frac{2}{x+3} \).
- ➡️ \(x \to \pm\infty\) iken \(\frac{2}{x+3} \to 0\) olur. Fonksiyon \(y = x + 1\) doğrusuna yaklaşır.
✅ Sonuç: Düşey asimptot \(x = -3\), eğik asimptot \(y = x + 1\)'dir.
