Soru:
\( k(x) = \frac{4x^3 - 2x + 1}{2x^2 - 8} \) fonksiyonunun asimptotlarını bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu fonksiyonda payın derecesi (3) paydanın derecesinden (2) büyük olduğu için eğik asimptot değil, eğri asimptot vardır. Ayrıca paydayı sıfır yapan değerler düşey asimptot verir.
- ➡️ Düşey Asimptotlar: Paydayı sıfır yapan değerler: \(2x^2 - 8 = 0 \Rightarrow 2(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x = 2\) ve \(x = -2\). Bu noktalarda limit sonsuza gider.
- ➡️ Eğri Asimptot: Polinom bölmesi yapalım: \((4x^3 + 0x^2 - 2x + 1) \div (2x^2 + 0x - 8)\). Bölüm \(2x\), kalan \( -2x + 1 \)'dir. Yani \( k(x) = 2x + \frac{-2x + 1}{2x^2 - 8} \).
- ➡️ \(x \to \pm\infty\) iken \(\frac{-2x + 1}{2x^2 - 8} \to 0\) olur. Fonksiyon \(y = 2x\) doğrusuna yaklaşır. (Bu bir eğik asimptottur, ancak genel olarak bu durumda eğri asimptot da denilebilir, sonuç bir doğru denklemidir).
✅ Sonuç: Düşey asimptotlar \(x = 2\) ve \(x = -2\), eğik asimptot \(y = 2x\)'tir.
