Soru:
Aşağıdaki belirsiz integrali hesaplayınız: \(\int \frac{x^2 + 2x + 1}{x} \, dx\)
Çözüm:
💡 Bu integral, payı paydaya terim terim bölerek sadeleştirilebilir.
- ➡️ İlk adım, kesri ayırmaktır: \(\int \left( \frac{x^2}{x} + \frac{2x}{x} + \frac{1}{x} \right) dx = \int \left( x + 2 + \frac{1}{x} \right) dx\)
- ➡️ Şimdi integrali terim terim alalım: \(\int x \, dx + \int 2 \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx\)
- ➡️ Her bir integrali çözelim:
- \(\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\)
- \(\int 2 \, dx = 2x\)
- \(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x|\) (Doğal logaritma kuralı)
- ➡️ Tüm terimleri ve integral sabiti \(C\)'yi birleştiriyoruz.
✅ Sonuç: \(\int \frac{x^2 + 2x + 1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} + 2x + \ln|x| + C\)
