Soru:
"Eğer \( n^2 \) 3 ile tam bölünüyorsa, o zaman \( n \) de 3 ile tam bölünür" önermesini karşıt ters yöntemini kullanarak ispatlayınız. (\( n \) bir tam sayıdır)
Çözüm:
🎯 Bu önermenin karşıt tersini alarak ispata başlayalım.
- ➡️ Önermemiz: P: "\( n^2 \), 3 ile tam bölünür", Q: "\( n \), 3 ile tam bölünür".
- ➡️ Karşıt Tersi: "Eğer \( n \), 3 ile tam bölünmüyorsa, o zaman \( n^2 \) de 3 ile tam bölünmez."
- ➡️ İspat: \( n \), 3 ile tam bölünmeyen bir tam sayı olsun. Bu durumda \( n \), 3'e bölündüğünde kalan ya 1'dir ya da 2'dir. Yani, bir \( k \) tam sayısı için \( n = 3k + 1 \) veya \( n = 3k + 2 \) şeklinde yazılabilir.
- ➡️ Durum 1: \( n = 3k + 1 \) ise, \( n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1 \). Görüldüğü gibi \( n^2 \), 3'e bölündüğünde 1 kalanını verir, yani 3 ile tam bölünmez.
- ➡️ Durum 2: \( n = 3k + 2 \) ise, \( n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 \). Bu durumda da \( n^2 \), 3'e bölündüğünde 1 kalanını verir, yani 3 ile tam bölünmez.
- ➡️ Her iki durumda da, eğer \( n \) 3 ile tam bölünmüyorsa, \( n^2 \) de 3 ile tam bölünmez.
✅ Karşıt tersi doğru olduğu için orijinal önerme de doğrudur.
