Soru:
Bir \( x \) tam sayısı için, "Eğer \( x^2 \) çift ise, o zaman \( x \) de çifttir" önermesini karşıt ters yöntemi ile ispatlayınız.
Çözüm:
💡 Karşıt ters yönteminde, "Eğer P ise Q" önermesi yerine onun mantıksal eşdeğeri olan "Eğer Q değil ise P değil" önermesini ispatlarız.
- ➡️ Önermemiz: P: "\( x^2 \) çift", Q: "\( x \) çift". İspatlayacağımız: "Eğer P ise Q".
- ➡️ Karşıt Tersi: "Eğer Q değil ise P değil". Yani, "Eğer \( x \) tek ise, o zaman \( x^2 \) tektir."
- ➡️ İspat: \( x \) tek bir tam sayı olsun. O halde, bir \( k \) tam sayısı için \( x = 2k + 1 \) şeklinde yazılabilir.
- ➡️ \( x^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 \) olur.
- ➡️ \( 2k^2 + 2k \) bir tam sayı olduğundan, \( x^2 \) ifadesi \( 2 \times (\text{bir tam sayı}) + 1 \) formundadır, yani tektir.
✅ Böylece, "Eğer \( x \) tek ise \( x^2 \) tektir" önermesini ispatlamış olduk. Bu da orijinal önermenin doğru olduğunu gösterir.
