Soru:
Bir üçgenin kenar uzunlukları \( 2x - 3 \), \( x + 5 \) ve \( 3x - 11 \) birimdir. Bu üçgenin var olabilmesi için \( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Kenar uzunlukları pozitif olmalı ve üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır.
- ➡️ 1. Adım: Kenar uzunluklarının pozitif olması.
- \( 2x - 3 > 0 \) → \( x > 1.5 \)
- \( x + 5 > 0 \) → \( x > -5 \) (Bu, diğerine göre daha zayıf bir koşul.)
- \( 3x - 11 > 0 \) → \( x > \frac{11}{3} \) → \( x > 3.\overline{6} \)
- ➡️ 2. Adım: Üçgen eşitsizliklerini yazalım.
- 1. Eşitsizlik: \( (2x - 3) + (x + 5) > (3x - 11) \) → \( 3x + 2 > 3x - 11 \) → \( 2 > -11 \) (Bu her zaman doğrudur, bir kısıtlama getirmez.)
- 2. Eşitsizlik: \( (2x - 3) + (3x - 11) > (x + 5) \) → \( 5x - 14 > x + 5 \) → \( 4x > 19 \) → \( x > 4.75 \)
- 3. Eşitsizlik: \( (x + 5) + (3x - 11) > (2x - 3) \) → \( 4x - 6 > 2x - 3 \) → \( 2x > 3 \) → \( x > 1.5 \)
- ➡️ 3. Adım: Tüm koşulları birleştirelim.
- Pozitif kenar koşulundan: \( x > 3.\overline{6} \)
- Üçgen eşitsizliğinden: \( x > 4.75 \)
- Bu iki koşuldan daha kısıtlayıcı olan \( x > 4.75 \)'tir.
✅ \( x > 4.75 \) ve \( x \) bir tam sayı ise, \( x \)'in alabileceği değerler 5, 6, 7, ... şeklindedir.
