Soru:
180 derece (geri saçılma) açıyla saçılan bir fotonun kinetik enerjisi 250 keV ise, gelen fotonun dalgaboyu kaç pm'dir? ( \( m_e c^2 = 511 \) keV, \( \lambda_C = 2.43 \) pm, \( hc = 1240 \text{ keV·pm} \))
Çözüm:
💡 Bu soru, geri saçılmada (θ = 180°) maksimum enerji kaybı olduğu gerçeğini kullanır. Saçılan elektronun kinetik enerjisi, gelen ve saçılan foton enerjileri farkına eşittir.
- ➡️ İlk adım, Compton formülünden maksimum dalgaboyu kaymasını bulmaktır. \( \theta = 180^\circ \) için \( \cos 180^\circ = -1 \).
\( \Delta \lambda = \lambda_C (1 - (-1)) = \lambda_C (2) = 2 \times 2.43 \text{ pm} = 4.86 \text{ pm} \).
Yani, \( \lambda' = \lambda + 4.86 \).
- ➡️ İkinci adım, enerji korunumunu yazmaktır. Elektronun kinetik enerjisi (K.E.), gelen foton enerjisi (E) ile saçılan foton enerjisi (E') farkıdır.
\( K.E. = E - E' \).
\( 250 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda'} \).
- ➡️ Üçüncü adım, \( \lambda' \) yerine \( \lambda + 4.86 \) yazmaktır ve hc=1240 değerini yerine koymaktır.
\( 250 = \frac{1240}{\lambda} - \frac{1240}{\lambda + 4.86} \).
- ➡️ Dördüncü adım, bu denklemi λ için çözmektir.
\( 250 = 1240 ( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda + 4.86} ) \).
\( \frac{250}{1240} = \frac{ (\lambda + 4.86) - \lambda }{ \lambda(\lambda + 4.86) } \).
\( 0.2016 \approx \frac{4.86}{ \lambda(\lambda + 4.86) } \).
\( \lambda(\lambda + 4.86) \approx \frac{4.86}{0.2016} \approx 24.11 \).
\( \lambda^2 + 4.86\lambda - 24.11 \approx 0 \).
- ➡️ Beşinci adım, ikinci dereceden denklemi çözmektir.
Diskriminant: \( \Delta = (4.86)^2 - 4(1)(-24.11) = 23.62 + 96.44 = 120.06 \), \( \sqrt{\Delta} \approx 10.96 \).
\( \lambda = \frac{-4.86 + 10.96}{2} \approx \frac{6.1}{2} \approx 3.05 \text{ pm} \) (Pozitif kökü alıyoruz).
✅ Sonuç: Gelen fotonun dalgaboyu yaklaşık 3.05 pm'dir.
