Soru: Aynı düzlemde bulunan $\vec{a}$, $\vec{b}$ ve $\vec{c}$ vektörleri için, $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$ eşitliği veriliyor. $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$ ise, $|\vec{c}|$ kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Çözüm: $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$ ise $\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b})$ olur. Her iki tarafın karesini alırsak: $|\vec{c}|^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$. Burada $\vec{a}$ ve $\vec{b}$ vektörleri arasındaki açının 180 derece olduğunu düşünürsek (çünkü toplamları diğer vektöre eşit ve zıt yönde), $|\vec{c}|^2 = 3^2 + 4^2 + 2 * 3 * 4 * cos(180) = 9 + 16 - 24 = 1$. Dolayısıyla $|\vec{c}| = \sqrt{1} = 1$ olur. Ancak bu durum $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$ şartını sağlamaz. $\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b})$ ifadesinde, $\vec{a}$ ve $\vec{b}$ aynı doğrultuda ve zıt yönde olmalıdır. Bu durumda $|\vec{c}| = | |\vec{b}| - |\vec{a}| | = |4 - 3| = 1$ veya $|\vec{c}| = | |\vec{a}| - |\vec{b}| | = |3 - 4| = 1$. Eğer $\vec{a}$ ve $\vec{b}$ arasındaki açı 90 derece ise $|\vec{c}|^2 = 3^2 + 4^2 = 25$ ve $|\vec{c}| = 5$ olur. Bu durumda cevap A şıkkıdır.
