Soru:
Aşağıda verilen $f(x) = \frac{4x-1}{2x+6}$ rasyonel fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) Fonksiyonun tanım kümesi $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$'tür.
B) Fonksiyonun düşey asimptotu $x = -3$ doğrusudur.
C) Fonksiyonun yatay asimptotu $y = 2$ doğrusudur.
D) Fonksiyon $y$-eksenini $y = -\frac{1}{6}$ noktasında keser.
E) Fonksiyon $x$-eksenini $x = 1$ noktasında keser.
Doğru Cevap: E
✍️ Çözüm:Verilen rasyonel fonksiyon $f(x) = \frac{4x-1}{2x+6}$ şeklindedir.
Şimdi her bir ifadeyi ayrı ayrı inceleyelim:
- A) Fonksiyonun tanım kümesi:
Bir rasyonel fonksiyonun tanım kümesi, paydanın sıfır olmadığı tüm gerçek sayılar kümesidir. Bu durumda, payda $2x+6$'dır. Paydayı sıfıra eşitleyelim:
$2x+6 = 0$
$2x = -6$
$x = -3$
Yani $x = -3$ değeri fonksiyonu tanımsız yapar. Dolayısıyla, fonksiyonun tanım kümesi $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$'tür. Bu ifade doğrudur.
- B) Fonksiyonun düşey asimptotu:
Düşey asimptotlar, paydanın sıfır olduğu ancak payın sıfır olmadığı $x$ değerlerinde oluşur. Paydayı sıfıra eşitlediğimizde $x = -3$ bulduk. $x = -3$ değerini paya yazarsak: $4(-3)-1 = -12-1 = -13 \neq 0$. Pay sıfır olmadığı için $x = -3$ doğrusu düşey asimptottur. Bu ifade doğrudur.
- C) Fonksiyonun yatay asimptotu:
Bir rasyonel fonksiyon $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ şeklinde olduğunda, yatay asimptot pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimlerin derecelerine bakılarak bulunur.
Burada payın derecesi ($4x$'ten dolayı $1$) ve paydanın derecesi ($2x$'ten dolayı $1$) eşittir. Dereceler eşit olduğunda, yatay asimptot katsayıların oranıdır:
$y = \frac{\text{payın en yüksek dereceli teriminin katsayısı}}{\text{paydanın en yüksek dereceli teriminin katsayısı}} = \frac{4}{2} = 2$.
Yani yatay asimptot $y = 2$ doğrusudur. Bu ifade doğrudur.
- D) Fonksiyon $y$-eksenini kestiği nokta:
Bir fonksiyonun $y$-eksenini kestiği noktayı bulmak için $x = 0$ değerini fonksiyonda yerine yazarız:
$f(0) = \frac{4(0)-1}{2(0)+6} = \frac{-1}{6}$
Yani fonksiyon $y$-eksenini $y = -\frac{1}{6}$ noktasında keser. Bu ifade doğrudur.
- E) Fonksiyon $x$-eksenini kestiği nokta:
Bir fonksiyonun $x$-eksenini kestiği noktayı (köklerini) bulmak için $f(x) = 0$ denklemini çözeriz. Bu, payın sıfır olması anlamına gelir:
$4x-1 = 0$
$4x = 1$
$x = \frac{1}{4}$
Yani fonksiyon $x$-eksenini $x = \frac{1}{4}$ noktasında keser. İfade $x = 1$ noktasında kestiğini belirttiği için bu ifade yanlıştır.
Sonuç olarak, yanlış olan ifade E seçeneğidir.
