Soru:
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği şekilde verilmiştir.
(Şekilde bir grafik olduğu varsayılmıştır. Örneğin, tepe noktası $A(2,1)$ olan ve kolları aşağı doğru olan bir parabol grafiği gibi düşünülebilir.)
Buna göre, $y = f(x-2)+3$ fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
(Şıklarda, verilen grafiğin dönüşümleriyle oluşmuş yeni grafikler bulunmaktadır. Örneğin, tepe noktası $A(2,1)$ olan parabolün, $y = f(x-2)+3$ dönüşümü sonrası tepe noktası $A'(4,4)$ olur ve kolları yine aşağı doğrudur.)
A) Grafiğin $x$-ekseni boyunca $2$ birim sağa, $y$-ekseni boyunca $3$ birim yukarı ötelenmiş halidir.
B) Grafiğin $x$-ekseni boyunca $2$ birim sola, $y$-ekseni boyunca $3$ birim yukarı ötelenmiş halidir.
C) Grafiğin $x$-ekseni boyunca $2$ birim sağa, $y$-ekseni boyunca $3$ birim aşağı ötelenmiş halidir.
D) Grafiğin $x$-ekseni boyunca $2$ birim sola, $y$-ekseni boyunca $3$ birim aşağı ötelenmiş halidir.
E) Grafiğin $x$-eksenine göre yansıması alınıp, $y$-ekseni boyunca $3$ birim yukarı ötelenmiş halidir.
Doğru Cevap: A
✍️ Çözüm:Bir $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği üzerinde yapılan dönüşümleri inceleyelim:
1. Yatay Öteleme: $y = f(x-a)$ şeklindeki bir fonksiyon, $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğini $x$-ekseni boyunca $a$ birim sağa öteler. Eğer $a$ negatif bir sayı ise ($y = f(x-(-a)) = f(x+a)$ gibi), $x$-ekseni boyunca $|a|$ birim sola öteler.
2. Dikey Öteleme: $y = f(x)+b$ şeklindeki bir fonksiyon, $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğini $y$-ekseni boyunca $b$ birim yukarı öteler. Eğer $b$ negatif bir sayı ise ($y = f(x)-|b|$ gibi), $y$-ekseni boyunca $|b|$ birim aşağı öteler.
Verilen fonksiyon $y = f(x-2)+3$ şeklindedir.
- İfadedeki $f(x-2)$ kısmı, $y = f(x)$ grafiğini $x$-ekseni boyunca $2$ birim sağa ötelemeyi temsil eder. Çünkü $x$ yerine $x-2$ yazılmıştır ve $a=2$ pozitif bir değerdir.
- İfadedeki $+3$ kısmı, $y = f(x)$ grafiğini $y$-ekseni boyunca $3$ birim yukarı ötelemeyi temsil eder. Çünkü fonksiyona dışarıdan $3$ eklenmiştir ve $b=3$ pozitif bir değerdir.
Bu durumda, $y = f(x-2)+3$ fonksiyonunun grafiği, $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin $x$-ekseni boyunca $2$ birim sağa ve $y$-ekseni boyunca $3$ birim yukarı ötelenmiş halidir.
Örneğin, eğer $f(x)$ fonksiyonunun tepe noktası $A(x_0, y_0)$ ise, $f(x-2)+3$ fonksiyonunun tepe noktası $A'(x_0+2, y_0+3)$ olacaktır.
