Verilen denklem sistemi aşağıdaki gibidir:
$1)$ $x - y = -1$
$2)$ $x^2 + y^2 = 5$
Bu denklem sistemini çözmek için yerine koyma yöntemini kullanabiliriz. Birinci denklemden $y$ değişkenini $x$ cinsinden ifade edelim:
$x - y = -1 \implies y = x + 1$
Şimdi bu ifadeyi ikinci denklemde $y$ yerine yazalım:
$x^2 + (x + 1)^2 = 5$
Parantezi açalım ve denklemi düzenleyelim:
$x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 5$
$2x^2 + 2x + 1 = 5$
$2x^2 + 2x - 4 = 0$
Denklemin her tarafını $2$ ile bölebiliriz:
$x^2 + x - 2 = 0$
Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak $x$ değerlerini bulalım. Çarpımları $-2$, toplamları $1$ olan iki sayı $2$ ve $-1$'dir. Dolayısıyla denklem şu şekilde çarpanlarına ayrılır:
$(x + 2)(x - 1) = 0$
Buradan $x$ için iki farklı değer elde ederiz:
$x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$
$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$
Şimdi bulduğumuz bu $x$ değerlerini $y = x + 1$ denkleminde yerine koyarak karşılık gelen $y$ değerlerini bulalım:
1. Durum: $x_1 = -2$ için
$y_1 = x_1 + 1 = -2 + 1 = -1$
Bu durumda birinci çözüm çifti $(-2, -1)$ olur.
2. Durum: $x_2 = 1$ için
$y_2 = x_2 + 1 = 1 + 1 = 2$
Bu durumda ikinci çözüm çifti $(1, 2)$ olur.
Denklem sisteminin çözüm kümesi, bulunan bu sıralı ikililerden oluşur.
Çözüm Kümesi = $\{(-2, -1), (1, 2)\}$
