Soru:
Bir ucu duvara menteşelenmiş, ağırlığı önemsiz, $2 \text{ m}$ uzunluğundaki düzgün bir çubuk yatay konumdadır. Çubuğa şekildeki gibi $F_1 = 10 \text{ N}$ ve $F_2 = 20 \text{ N}$ büyüklüğünde kuvvetler etki etmektedir. $F_1$ kuvveti çubuğun orta noktasına, çubukla $30^\circ$ açı yapacak şekilde ve çubuğu saat yönünün tersine döndürecek yönde, $F_2$ kuvveti ise çubuğun serbest ucuna çubuğa dik olacak şekilde ve çubuğu saat yönünde döndürecek yönde uygulanmıştır. Menteşeye göre bileşke torkun büyüklüğü ve yönü nedir?
(Sürtünmeler önemsizdir. $\sin 30^\circ = 0.5$, $\cos 30^\circ = 0.87$ alınız.)
A) $35 \text{ N} \cdot \text{m}$, saat yönünde
B) $35 \text{ N} \cdot \text{m}$, saat yönünün tersine
C) $45 \text{ N} \cdot \text{m}$, saat yönünde
D) $45 \text{ N} \cdot \text{m}$, saat yönünün tersine
E) $5 \text{ N} \cdot \text{m}$, saat yönünde
Doğru Cevap: A
✍️ Çözüm:Bir kuvvetin bir noktaya göre torku, kuvvetin büyüklüğü, dönme noktasına olan dik uzaklığı ve kuvvetin dönme ekseniyle yaptığı açının sinüsü ile çarpımına eşittir. Matematiksel olarak tork $\tau = F \cdot r \cdot \sin\theta$ formülüyle hesaplanır.
Öncelikle her bir kuvvetin menteşeye göre oluşturduğu torkları ayrı ayrı hesaplayalım ve yönlerini belirleyelim.
$F_1$ kuvvetinin torku ($\tau_1$):
- $F_1 = 10 \text{ N}$
- Çubuğun uzunluğu $2 \text{ m}$ olduğundan, orta noktaya olan uzaklık $r_1 = 2 \text{ m} / 2 = 1 \text{ m}$'dir.
- $F_1$ kuvveti çubukla $30^\circ$ açı yapmaktadır, bu nedenle $\theta_1 = 30^\circ$.
- $F_1$ kuvvetinin torku: $\tau_1 = F_1 \cdot r_1 \cdot \sin\theta_1 = 10 \text{ N} \cdot 1 \text{ m} \cdot \sin 30^\circ = 10 \text{ N} \cdot 1 \text{ m} \cdot 0.5 = 5 \text{ N} \cdot \text{m}$.
- Soruda belirtildiği gibi, bu tork çubuğu saat yönünün tersine döndürme eğilimindedir. Saat yönünün tersi torkları pozitif kabul edelim. Dolayısıyla, $\tau_1 = +5 \text{ N} \cdot \text{m}$.
$F_2$ kuvvetinin torku ($\tau_2$):
- $F_2 = 20 \text{ N}$
- Çubuğun serbest ucuna uygulandığı için menteşeye olan uzaklık $r_2 = 2 \text{ m}$'dir.
- $F_2$ kuvveti çubuğa dik uygulandığı için $\theta_2 = 90^\circ$.
- $F_2$ kuvvetinin torku: $\tau_2 = F_2 \cdot r_2 \cdot \sin\theta_2 = 20 \text{ N} \cdot 2 \text{ m} \cdot \sin 90^\circ = 20 \text{ N} \cdot 2 \text{ m} \cdot 1 = 40 \text{ N} \cdot \text{m}$.
- Soruda belirtildiği gibi, bu tork çubuğu saat yönünde döndürme eğilimindedir. Saat yönü torkları negatif kabul edelim. Dolayısıyla, $\tau_2 = -40 \text{ N} \cdot \text{m}$.
Bileşke tork ($\tau_{net}$):
Menteşeye göre bileşke tork, tüm torkların cebirsel toplamıdır.
$\tau_{net} = \tau_1 + \tau_2$
$\tau_{net} = (+5 \text{ N} \cdot \text{m}) + (-40 \text{ N} \cdot \text{m})$
$\tau_{net} = -35 \text{ N} \cdot \text{m}$
Bileşke torkun büyüklüğü $35 \text{ N} \cdot \text{m}$'dir. Negatif işaret, bileşke torkun yönünün, pozitif kabul ettiğimiz saat yönünün tersi yönüne zıt, yani saat yönünde olduğunu gösterir.
Doğru cevap $35 \text{ N} \cdot \text{m}$, saat yönünde'dir.
