Bir fonksiyonun bir $x_0$ noktasında sürekli olabilmesi için üç temel koşulun sağlanması gerekir:
Verilen $f(x)$ fonksiyonunun $x=3$ noktasında sürekli olduğu belirtilmiştir. Bu durumda yukarıdaki koşulları $x_0=3$ için inceleyelim:
1. $f(3)$ değeri tanımlıdır:
$f(x)$ fonksiyonunun tanımında $x \ge 3$ olduğu durumda $f(x) = 2x+1$ kuralı geçerlidir. Dolayısıyla $f(3)$ değeri,
olarak bulunur. Fonksiyon $x=3$ noktasında tanımlıdır.
2. $\lim_{x \to 3} f(x)$ limiti vardır:
Limitin var olması için $x=3$ noktasındaki sol limitin sağ limite eşit olması gerekir.
Sol limit ($x \to 3^-$): $x < 3$ olduğu durumda $f(x) = (m-1)x+4$ kuralı geçerlidir.
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} ((m-1)x+4)$$x$ yerine $3$ yazarsak:
$(m-1) \cdot 3 + 4 = 3m - 3 + 4 = 3m+1$Sağ limit ($x \to 3^+$): $x > 3$ olduğu durumda $f(x) = 2x+1$ kuralı geçerlidir.
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (2x+1)$$x$ yerine $3$ yazarsak:
$2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$Limitin var olması için sol limitin sağ limite eşit olması gerektiğinden,
$3m+1 = 7$3. $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3)$ koşulu:
$m=2$ değeri bulunduğunda sol limit $3(2)+1 = 7$ olur. Sağ limit de $7$ idi, dolayısıyla $\lim_{x \to 3} f(x) = 7$ olur. Ayrıca $f(3)$ değeri de $7$ olarak bulunmuştu. Böylece $7 = 7$ koşulu sağlanmış olur.
Bu üç koşulun sağlanması için $m$ değeri $2$ olmalıdır.
