Bir fonksiyonun grafiğini çizerken veya grafiği ile ilgili özellikleri belirlerken türevden faydalanırız. Adım adım inceleyelim:
1. Tanım Kümesi:
$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ bir polinom fonksiyonu olduğundan, tanım kümesi tüm reel sayılar kümesidir, yani $x \in \mathbb{R}$'dir.
2. Birinci Türev ve Ekstremum Noktaları:
Fonksiyonun birinci türevini alalım:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 9x + 5) = 3x^2 - 6x - 9$
Yerel ekstremum noktalarını bulmak için $f'(x) = 0$ denklemini çözelim:
$3x^2 - 6x - 9 = 0$
Her tarafı $3$ ile bölelim:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Bu denklemi çarpanlarına ayıralım:
$(x-3)(x+1) = 0$
Buradan kritik noktalar $x_1 = 3$ ve $x_2 = -1$ bulunur.
Şimdi $f'(x)$'in işaret tablosunu oluşturalım:
| $x$ | $(-\infty, -1)$ | $-1$ | $(-1, 3)$ | $3$ | $(3, \infty)$ |
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | Artan | Yerel Maksimum | Azalan | Yerel Minimum | Artan |
Tabloya göre:
$x = -1$ noktasında fonksiyon yerel maksimuma sahiptir. $f(-1)$ değerini hesaplayalım:
$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3(1) + 9 + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$
Yerel maksimum noktası: $(-1, 10)$.
Bu, [A] şıkkındaki ifade ile örtüşmektedir.
$x = 3$ noktasında fonksiyon yerel minimuma sahiptir. $f(3)$ değerini hesaplayalım:
$f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 5 = 27 - 3(9) - 27 + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$
Yerel minimum noktası: $(3, -22)$.
[B] şıkkı yerel minimum noktasının koordinatlarını $(3, 5)$ olarak verdiği için yanlıştır.
Fonksiyon $x \in (-\infty, -1)$ aralığında artandır. [D] şıkkı bu aralıkta azalan dediği için yanlıştır.
3. İkinci Türev ve Büküm Noktaları (Konkavlık/Konvekslik):
Fonksiyonun ikinci türevini alalım:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x - 9) = 6x - 6$
Büküm noktasını bulmak için $f''(x) = 0$ denklemini çözelim:
$6x - 6 = 0 \implies 6x = 6 \implies x = 1$
$f(1)$ değerini hesaplayalım:
$f(1) = (1)^3 - 3(1)^2 - 9(1) + 5 = 1 - 3 - 9 + 5 = -6$
Büküm noktası: $(1, -6)$.
[C] şıkkı büküm noktasını $(1, -5)$ olarak verdiği için yanlıştır.
Şimdi $f''(x)$'in işaret tablosunu oluşturalım:
| $x$ | $(-\infty, 1)$ | $1$ | $(1, \infty)$ |
| $f''(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | Konkav (içbükey) | Büküm Noktası | Konveks (dışbükey) |
Tabloya göre:
Fonksiyon $x \in (-\infty, 1)$ aralığında konkav (içbükey) ve $x \in (1, \infty)$ aralığında konveks (dışbükey) bir yapıya sahiptir.
[E] şıkkı $x \in (1, \infty)$ aralığında konkav dediği için yanlıştır.
Sonuç olarak, verilen ifadelerden sadece [A] şıkkı doğrudur.
