12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 5. senaryo meb Çözümlü Sorular

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıkları bulmak için öncelikle fonksiyonun türevini alıp, türevin işaretini incelememiz gerekir.

Adım 1: Fonksiyonun türevini bulma.

Verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 10$ şeklindedir.

Bu fonksiyonun türevi $f'(x)$ aşağıdaki gibi bulunur:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 - 15x + 10)$

$f'(x) = 3x^2 - 6 \cdot (2x) - 15 \cdot (1) + 0$

$f'(x) = 3x^2 - 12x - 15$

Adım 2: Türevin köklerini bulma.

Fonksiyonun azalan olduğu aralıkları bulmak için $f'(x) < 0$ eşitsizliğini çözmemiz gerekir. Bunun için önce $f'(x) = 0$ denkleminin köklerini buluruz.

$3x^2 - 12x - 15 = 0$

Denklemi basitleştirmek için her tarafı $3$ ile bölelim:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz:

Çarpımları $-5$, toplamları $-4$ olan iki sayı $-5$ ve $1$'dir.

$(x - 5)(x + 1) = 0$

Bu denklemin kökleri $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ ve $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$'dir.

Adım 3: Türevin işaretini inceleme.

Şimdi $f'(x) = 3x^2 - 12x - 15$ türevinin işaretini köklerine göre inceleyelim. $f'(x)$ parabolü, baş katsayısı $3 > 0$ olduğu için kolları yukarı doğru olan bir paraboldür.

Kökler $-1$ ve $5$'tir.

• $x < -1$ için (örneğin $x = -2$): $f'(-2) = 3(-2)^2 - 12(-2) - 15 = 3(4) + 24 - 15 = 12 + 24 - 15 = 21 > 0$. Bu aralıkta fonksiyon artandır.
• $-1 < x < 5$ için (örneğin $x = 0$): $f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) - 15 = -15 < 0$. Bu aralıkta fonksiyon azalandır.
• $x > 5$ için (örneğin $x = 6$): $f'(6) = 3(6)^2 - 12(6) - 15 = 3(36) - 72 - 15 = 108 - 72 - 15 = 21 > 0$. Bu aralıkta fonksiyon artandır.

Adım 4: Azalan olduğu aralığı belirleme.

Fonksiyonun azalan olduğu aralık, $f'(x) < 0$ olduğu aralıktır. Yaptığımız incelemeye göre bu aralık $(-1, 5)$'tir.

Doğru cevap A seçeneğidir.