Soru: $x$ ve $y$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $3x + 4y = 48$ denklemini sağlayan kaç farklı $(x, y)$ sıralı ikilisi vardır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
Çözüm: $3x + 4y = 48$ denkleminde $x$ ve $y$ pozitif tam sayılar olduğu için $x \ge 1$ ve $y \ge 1$ olmalıdır.
Denklemi $3x = 48 - 4y$ şeklinde yazabiliriz. Buradan $3x = 4(12 - y)$ elde ederiz.
Bu ifadeye göre $3x$ sayısı $4$'ün bir katı olmalıdır. $3$ ve $4$ aralarında asal olduğundan, $x$ sayısı $4$'ün bir katı olmalıdır.
Aynı şekilde, $4y = 48 - 3x$ ifadesinden $4y$ sayısı $3$'ün bir katı olmalıdır. $4$ ve $3$ aralarında asal olduğundan, $y$ sayısı $3$'ün bir katı olmalıdır.
Şimdi $y$ değerlerini deneyelim, $y \ge 1$ ve $y$ $3$'ün katı olmalı:
1. Eğer $y=3$ ise: $3x + 4(3) = 48 \Rightarrow 3x + 12 = 48 \Rightarrow 3x = 36 \Rightarrow x = 12$. $(12, 3)$ geçerli bir ikilidir.
2. Eğer $y=6$ ise: $3x + 4(6) = 48 \Rightarrow 3x + 24 = 48 \Rightarrow 3x = 24 \Rightarrow x = 8$. $(8, 6)$ geçerli bir ikilidir.
3. Eğer $y=9$ ise: $3x + 4(9) = 48 \Rightarrow 3x + 36 = 48 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$. $(4, 9)$ geçerli bir ikilidir.
4. Eğer $y=12$ ise: $3x + 4(12) = 48 \Rightarrow 3x + 48 = 48 \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x = 0$. Ancak $x$ pozitif tam sayı olmalı ($x \ge 1$), bu yüzden $(0, 12)$ geçerli değildir.
Dolayısıyla, denklemi sağlayan $(x, y)$ sıralı ikilileri $(12, 3)$, $(8, 6)$ ve $(4, 9)$ olmak üzere 3 tanedir.
