Bayes Teoremi, olasılık teorisinde, bir olayın meydana gelme olasılığını, bu olayla ilişkili önceden bilinen koşullara dayanarak hesaplamamızı sağlayan bir formüldür. Adını, 18. yüzyılda yaşamış İngiliz rahip ve matematikçi Thomas Bayes'ten almıştır.
Bu teorem, koşullu olasılık ile yakından ilişkilidir. Koşullu olasılık, bir B olayının gerçekleştiği bilindiğine göre, bir A olayının gerçekleşme olasılığıdır ve P(A|B) şeklinde gösterilir.
Bayes Teoremi'nin genel formülü şu şekildedir:
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)} \]
Burada:
Bir hastalık tarama testi üzerinden gidelim:
Soru: Testi pozitif çıkan birinin gerçekten hasta olma olasılığı (P(Hastalık|Pozitif)) nedir?
Öncelikle, testin pozitif çıkma toplam olasılığını (P(Pozitif)) bulmalıyız:
\[ P(Pozitif) = P(Pozitif|Hastalık) \times P(Hastalık) + P(Pozitif|Sağlıklı) \times P(Sağlıklı) \]
\[ P(Pozitif) = (0.99 \times 0.01) + (0.05 \times 0.99) \]
\[ P(Pozitif) = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594 \]
Şimdi Bayes formülünü uygulayalım:
\[ P(Hastalık|Pozitif) = \frac{P(Pozitif|Hastalık) \times P(Hastalık)}{P(Pozitif)} \]
\[ P(Hastalık|Pozitif) = \frac{0.99 \times 0.01}{0
Soru 1: Bir hastanede kullanılan bir test, bir hastalığa sahip kişilerde %99 oranında pozitif sonuç vermektedir. Hastalığa sahip olmayan kişilerde ise %2 oranında yanlışlıkla pozitif sonuç vermektedir. Bu hastalık toplumda her 1000 kişiden 1'inde görülmektedir. Rastgele seçilen bir kişiye bu test uygulandığında sonuç pozitif çıkıyorsa, bu kişinin gerçekten hasta olma olasılığı yaklaşık olarak nedir?
a) 0,047 b) 0,090 c) 0,330 d) 0,990 e) 0,999
Cevap: a) 0,047
Çözüm: Bayes Teoremi uygulanır. H: Hasta olma olayı, P: Testin pozitif çıkması olayı olsun. P(H) = 0,001, P(P|H) = 0,99, P(P|H') = 0,02. P(H|P) = [P(P|H)*P(H)] / [P(P|H)*P(H) + P(P|H')*P(H')] = [0,99*0,001] / [0,99*0,001 + 0,02*0,999] ≈ 0,00099 / (0,00099 + 0,01998) ≈ 0,00099 / 0,02097 ≈ 0,047
Soru 2: Bir fabrikada üretim A, B ve C makineleri tarafından yapılmaktadır. A makinesi toplam üretimin %50'sini, B makinesi %30'unu, C makinesi ise %20'sini gerçekleştirmektedir. A makinesinin ürettiği parçalardan %1'i, B makinesininkilerden %2'si, C makinesininkilerden %3'ü kusurludur. Rastgele seçilen bir parçanın kusurlu olduğu bilindiğine göre, bu parçanın B makinesinde üretilmiş olma olasılığı kaçtır?
a) 0,24 b) 0,30 c) 0,32 d) 0,36 e) 0,40
Cevap: a) 0,24
Çözüm: K: Kusurlu parçayı göstermek üzere, P(A)=0,5, P(B)=0,3, P(C)=0,2, P(K|A)=0,01, P(K|B)=0,02, P(K|C)=0,03. Bayes Teoremi'ne göre P(B|K) = [P(K|B)*P(B)] / [P(K|A)*P(A) + P(K|B)*P(B) + P(K|C)*P(C)] = [0,02*0,3] / [0,01*0,5 + 0,02*0,3 + 0,03*0,2] = 0,006 / (0,005 + 0,006 + 0,006) = 0,006 / 0,025 = 0,24
Soru 3: Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı kız, %40'ı erkektir. Kız öğrencilerin %70'i, erkek öğrencilerin ise %50'si matematik dersinden başarılıdır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin matematikten başarılı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin erkek olma olasılığı kaçtır?
a) 4/13 b) 5/13 c) 6/13 d) 7/13 e) 8/13
Cevap: b) 5/13
Çözüm: E: Erkek öğrenci, B: Başarılı olma olayı olsun. P(K)=0,6, P(E)=0,4, P(B|K)=0,7, P(B|E)=0,5. Bayes Teoremi ile P(E|B) = [P(B|E)*P(E)] / [P(B|K)*P(K) + P(B|E)*P(E)] = [0,5*0,4] / [0,7*0,6
