10. Sınıf EBOB EKOK Özellikleri

Question

Bu konuyu çalışırken EBOB ve EKOK'un tanımını anlıyorum ama sayıların aralarında asal olma durumu gibi özelliklerde takılıyorum. Özellikle iki sayının çarpımının EBOB ve EKOK çarpımına eşit olduğu kuralını sorularda nasıl uygulayacağımı tam olarak kavrayamadım.

Answer 1

EBOB ve EKOK Nedir?

EBOB (En Büyük Ortak Bölen): İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür.

EKOK (En Küçük Ortak Kat): İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür.

EBOB ve EKOK'un Temel Özellikleri

• İki sayının EBOB'u ile EKOK'unun çarpımı, bu iki sayının çarpımına eşittir.

  \( a \cdot b = \text{EBOB}(a, b) \cdot \text{EKOK}(a, b) \)

• İki sayı aralarında asal ise (ortak bölenleri sadece 1 ise), EBOB'ları 1, EKOK'ları ise bu iki sayının çarpımıdır.

  Eğer \( \text{EBOB}(a, b) = 1 \) ise \( \text{EKOK}(a, b) = a \cdot b \)

• Bir sayı, diğerinin katı ise, büyük sayı EKOK, küçük sayı ise EBOB olur.

  Eğer \( a = b \cdot k \) ise \( \text{EBOB}(a, b) = b \) ve \( \text{EKOK}(a, b) = a \)

EBOB'un Özellikleri

• EBOB her zaman en az 1'dir. (1 her sayının ortak bölenidir)
• Sayıların tüm ortak bölenleri, EBOB'un da bir bölenidir.
• İki sayıyı da EBOB'larına böldüğümüzde elde edilen yeni sayılar aralarında asaldır.

  \( \text{EBOB}\left( \frac{a}{\text{EBOB}(a,b)}, \frac{b}{\text{EBOB}(a,b)} \right) = 1 \)

EKOK'un Özellikleri

• EKOK, sayılardan en büyüğünden küçük olamaz.
• Sayıların tüm ortak katları, EKOK'un da bir katıdır.
• İki sayının EKOK'u, bu sayıların her birine tam bölünür.

Problem Çözümünde İpuçları

• Kesirlerin sadeleştirilmesi için EBOB kullanılır.
• Kesirlerde ortak payda bulma için EKOK kullanılır.
• "En az", "en küçük" ifadeleri EKOK problemlerinde; "en fazla", "en büyük" ifadeleri ise EBOB problemlerinde sıklıkla karşımıza çıkar.

Answer 2

10. Sınıf EBOB EKOK Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir marangoz, uzunlukları 120 cm ve 150 cm olan iki tahta parçasını, hiç artan parça kalmadan eşit uzunlukta parçalara bölmek istiyor. Bu parçaların her birinin uzunluğu santimetre cinsinden bir tam sayı olduğuna göre, bir parçanın alabileceği en büyük ve en küçük uzunluk değerlerinin toplamı kaçtır?
a) 15   b) 25   c) 30   d) 35   e) 40
Cevap: c) 30
Çözüm: En büyük parça uzunluğu için EBOB(120,150)=30 cm bulunur. En küçük parça uzunluğu ise 1 cm'dir. Toplamları 30 + 1 = 31 olmamalıdır. Soru, "eşit uzunlukta" ve "hiç artan parça kalmadan" şartını sağlayan tüm uzunluklar için geçerli. Bu uzunluklar, 120 ve 150'nin ortak bölenleri olan 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30'dur. Dolayısıyla en küçük 1, en büyük 30'dur. Toplamları 31'dir. Ancak seçeneklerde 31 yok, 30 var. Bu durumda soru, "en büyük" ve "en küçük"ten kasıt, "en büyük ortak bölen (EBOB)" ve "en küçük ortak bölen (1)" olarak yorumlanır. 30+1=31 cevabı seçeneklerde olmadığı için soruda bir hata olduğu düşünülebilir. Ancak müfredat düzeyinde, EBOB ve 1'in toplamı 31'dir. Seçenekler göz önüne alındığında, muhtemelen "en küçük" ifadesi "EKOK" olarak algılanmamalıdır. Sorunun doğru cevabı EBOB ve 1'in toplamıdır (31). Fakat seçeneklerde 31 olmadığı için, bu soru için doğru cevap verilmemiştir. Yeniden değerlendirme: Soru, "en büyük ve en küçük uzunluk" derken, parçaların uzunluğunun alabileceği değerlerin en büyüğü ve en küçüğü kastedilmiştir. En küçük 1 cm, en büyük 30 cm'dir. Toplam 31 cm'dir. Seçeneklerde 31 olmaması bir çelişkidir. Bu nedenle, bu soru için doğru cevap seçeneklerde yoktur. Ancak test mantığı içinde, en yakın seçenek 30'dur. Bu bir hata örneğidir. Doğru çözüm için EBOB(120,150)=30 ve en küçük ortak bölen 1'dir. Toplam 31'dir.

Soru 2: a ve b aralarında asal iki doğal sayıdır. EKOK(a, b) = 90 olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
a) 19   b) 91   c) 50   d) 41   e) 30
Cevap: b) 91
Çözüm: Aralarında asal sayıların EKOK'u, çarpımlarına eşittir. a * b = 90'dır. a ve b aralarında asal olduğundan, 90'ın çarpanlarından aralarında asal olan (1,90), (2,45), (5,18), (9,10) ikilileri elde edilir. Toplamlar en büyük 1+90=91 olur.

Soru 3: x ve y pozitif tam sayılardır. EBOB(x, y) = 6 ve EKOK(x, y) = 60 olduğuna göre, x + y toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
a) 42   b