Doğrusal Fonksiyonlarda Eğim (a) ve Kayma (b) Nasıl Bulunur? Örnekler

Question

Doğrusal fonksiyonlarda eğim ve kayma terimlerini formülde (y = ax + b) görüyorum ama bunları grafik üzerinde nasıl bulacağımı tam olarak kavrayamadım. Özellikle, eğimi hesaplarken iki noktayı nasıl seçeceğim ve kayma terimini grafikte nerede göreceğim konusu kafamı karıştırıyor. Basit bir örnekle anlatırsanız çok iyi olur.

Answer 1

Doğrusal fonksiyonlar, matematikte en sık karşılaşılan ve en temel fonksiyon türlerinden biridir. Genel formülleri y = ax + b şeklindedir. Bu formülde:

• a değeri, doğrunun eğimini (ne kadar dik olduğunu ve yönünü) belirtir.
• b değeri ise, doğrunun y-eksenini kestiği noktayı, yani kayma miktarını (veya y-ekseni kesim noktasını) belirtir.

1. Eğim (a) Nasıl Bulunur?

Eğim, doğrunun yatayda (x ekseninde) bir birim değişime karşılık dikeyde (y ekseninde) ne kadar değiştiğinin ölçüsüdür. Bir başka deyişle "dikeydeki değişimin, yataydaki değişime oranı"dır.

Eğimi bulmanın birkaç yolu vardır:

• Formülden Okuma: Fonksiyon y = ax + b formunda verilmişse, x'in yanındaki katsayı (a) direkt olarak eğimdir.
  Örnek: y = 3x - 5 fonksiyonunda eğim (a) = 3'tür.


• İki Nokta Kullanma: Doğru üzerinde herhangi iki nokta biliniyorsa, eğim aşağıdaki formülle hesaplanır:
  a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
  Örnek: Doğru üzerindeki (2, 4) ve (5, 10) noktaları verilsin.
  a = (10 - 4) / (5 - 2) = 6 / 3 = 2'dir. Yani eğim 2'dir.


• Grafikten Okuma: Grafikte doğru üzerinde sağa doğru gidilirken ne kadar yükseldiği (veya alçaldığı) gözlemlenir. Sağa doğru 1 birim gidildiğinde yukarı kaç birim çıkılıyorsa eğim odur. Aşağı iniliyorsa eğim negatiftir.
  Örnek: Sağa 2 birim, yukarı 3 birim giden bir doğrunun eğimi: a = 3/2'dir.
  Örnek: Sağa 4 birim, aşağı 2 birim giden bir doğrunun eğimi: a = -2/4 = -0.5'tir.

2. Kayma (b) Nasıl Bulunur?

Kayma değeri (b), doğrunun y-eksenini hangi y değerinde kestiğini gösterir. x değeri sıfır (0) olduğunda y'nin aldığı değerdir.

Kayma değerini bulmanın yolları:

• Formülden Okuma: Fonksiyon y = ax + b formunda verilmişse, sabit sayı olan b direkt olarak kayma değeridir.
  Örnek: y = -2x + 7 fonksiyonunda kayma (b) = 7'dir.


• Grafikten Okuma: Doğrunun y-eksenini kestiği noktaya bakılır. Bu noktanın y değeri, b değerini verir.
  Örnek: Doğru, y-eksenini (0, -3) noktasında kesiyorsa, kayma (b) = -3'tür.


• Hesaplama: Eğim (a) ve doğru üzerindeki herhangi bir (x, y) noktası biliniyorsa, y = ax + b formülünde bilinenler yerine konularak b değeri çekilir.
  Yanıtla

Answer 2

Doğrusal Fonksiyonlarda Eğim (a) ve Kayma (b) Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki doğrusal fonksiyonlardan hangisinin eğimi (a) 2'dir ve y eksenini (b) 3 noktasında kesmektedir?
a) \( y = 3x + 2 \)
b) \( y = 2x + 3 \)
c) \( y = -2x + 3 \)
d) \( y = 2x - 3 \)
e) \( y = x + 5 \)
Cevap: b) \( y = 2x + 3 \)
Çözüm: Doğrusal fonksiyonlar \( y = ax + b \) formundadır. Burada a eğimi, b ise y eksenini kestiği noktayı (kayma) gösterir. Seçenekte a=2 ve b=3 değerlerini sağlayan fonksiyon \( y = 2x + 3 \)'tür.

Soru 2: Grafiği (-1, 2) ve (3, 10) noktalarından geçen doğrunun eğim (a) ve kayma (b) değerleri aşağıdakilerden hangisidir?
a) a=1, b=3
b) a=2, b=4
c) a=3, b=1
d) a=2, b=3
e) a=4, b=2
Cevap: b) a=2, b=4
Çözüm: Eğim formülü: \( a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{10 - 2}{3 - (-1)} = \frac{8}{4} = 2 \). Eğim 2 olduğuna göre denklem \( y = 2x + b \) şeklindedir. Noktalardan birini (örneğin (-1,2)) yerine yazarsak: \( 2 = 2(-1) + b \) → \( 2 = -2 + b \) → \( b = 4 \). Sonuç: a=2, b=4.

Soru 3: \( 4x - 2y + 6 = 0 \) doğrusunun eğimi (a) ve y eksenini kestiği nokta (b) aşağıdakilerden hangisidir?
a) a=2, b=3
b) a=-2, b=-3
c) a=2, b=-3
d) a=-2, b=3
e) a=4, b=6
Cevap: a) a=2, b=3
Çözüm: Denklemi \( y = ax + b \) formuna getirelim: \( -2y = -4x - 6 \) → \( y = 2x + 3 \). Buradan eğim (a) = 2 ve y eksenini kestiği nokta (b) = 3 olarak bulunur.