Bir fonksiyonun sıfırı veya kökü, fonksiyonun değerini sıfır yapan (yani fonksiyonun 0'a eşit olduğu) x değeridir. Başka bir deyişle, fonksiyonun grafiğinin x-eksenini kestiği noktaların apsisleridir.
f: A → B, y = f(x) şeklinde bir fonksiyon olsun.
f(x) = 0 denklemini sağlayan x değerlerine, f fonksiyonunun sıfırları (kökleri) denir.
Bir fonksiyonun sıfırlarını bulmak için fonksiyon kuralında y yerine (veya f(x) yerine) 0 yazıp denklemi x değişkenine göre çözeriz.
Örneğin: f(x) = 2x - 6 fonksiyonunun sıfırını bulalım.
f(x) = 0 → 2x - 6 = 0 → 2x = 6 → x = 3
Bu fonksiyonun sıfırı (kökü) x = 3'tür.
f(x) = ax² + bx + c şeklindeki ikinci dereceden fonksiyonların (parabollerin) sıfırları, diskriminant (Δ) formülü ile bulunabilir.
Δ = b² - 4ac
Örnek 1: f(x) = x² - 5x + 6 fonksiyonunun sıfırlarını bulalım.
x² - 5x + 6 = 0 denklemini çözelim.
(x - 2)(x - 3) = 0 → x₁ = 2, x₂ = 3
Fonksiyonun sıfırları x = 2 ve x = 3'tür.
Örnek 2: f(x) = 2x + 8 fonksiyonunun sıfırını bulalım.
2x + 8 = 0 → 2x = -8 → x = -4
Fonksiyonun sıfırı x = -4'tür.
Soru 1: f: R → R, f(x) = 2x² - 8 şeklinde tanımlanan fonksiyonun sıfırlarının toplamı kaçtır?
a) -4 b) 0 c) 4 d) 8 e) 16
Cevap: b) 0
Çözüm: Fonksiyonun sıfırlarını bulmak için f(x)=0 denklemi çözülür: 2x² - 8 = 0 → 2x² = 8 → x² = 4 → x₁ = 2, x₂ = -2. Sıfırların toplamı: 2 + (-2) = 0'dır.
Soru 2: Aşağıda grafiği verilen f(x) fonksiyonu için hangisi doğrudur?
(Grafik: x eksenini (-3, 0) ve (1, 0) noktalarında kesen, kolları yukarı doğru bir parabol)
a) Fonksiyonun tek sıfırı vardır. b) Sıfırlarının çarpımı -3'tür. c) f(0) = 3'tür. d) Sıfırlar toplamı -2'dir. e) f(x) = (x+3)(x-1) şeklindedir.
Cevap: b) Sıfırlarının çarpımı -3'tür.
Çözüm: Grafik x eksenini x = -3 ve x = 1 noktalarında kestiğinden sıfırlar -3 ve 1'dir. Sıfırların çarpımı: (-3) * (1) = -3'tür. f(x) = a(x+3)(x-1) formundadır, sabit a değeri bilinmediğinden diğer seçenekler kesin değildir.
Soru 3: f(x) = (m - 2)x² + 3x - m + 1 fonksiyonunun yalnızca bir sıfırı olması için m kaç olmalıdır?
a) -2 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5
Cevap: e) 5
Çözüm: Fonksiyonun tek sıfırı olması için ya başkatsayı sıfır olmalı (doğrusal fonksiyon) ve bu doğrunun eğimi sıfırdan farklı olmalı, ya da ikinci dereceden ise diskriminant sıfır olmalıdır. İlk durum: m - 2 = 0 → m = 2. f(x)=3x-1 olur, bir sıfırı vardır. İkinci durum: Δ = 0. Δ = 3² - 4*(m-2)*(-m+1) = 9 + 4(m-2)(m-1) = 0. (m-2)(m-1) = -9/4. Buradan tam sayı çözüm gelmez. Ancak soru "yalnızca bir sıfır" ifadesi ile tek kökü olmasını istediğinden ve m=2 için bu sağlandığından cevap 2 olmalı gibi görünür. Ancak seçeneklerde 2 de (c şıkkı) var. Fakat m=2 için fonksiyon doğrusal olduğundan ve bir kökü olduğundan bu da geçerlidir. Burada bir çelişki var. Sorunun muhtemelen ikinci dereceden olması için m≠2 ve Δ=0 isteniyordur. Δ=0 denklemi çözülürse: 9 + 4(m² - 3m + 2) = 0 → 4m² -12m +8 +9=0 → 4m² -12m +17=0. Diskriminantı 144-4*4*17=144-272=-128<0, reel kök yok. O halde tek çözüm m=2'dir. Ancak seçeneklerde 2 de var, 5 de. Bu durumda soruda hata olabilir veya "m" parametresi için ikinci bir koşul daha aranıyor olabilir. Genel kabul, ikinci dereceden fonksiyonlar için diskrimin
