Fonksiyonlar, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesinde yalnızca bir elemanla eşleştiren özel bağıntılardır. Bire bir ve örten fonksiyonlar ise bu eşleştirmenin nasıl yapıldığına göre fonksiyonlara verilen özel isimlerdir.
Bir fonksiyonun bire bir olması için, tanım kümesindeki farklı her elemanın, değer kümesinde farklı elemanlarla eşleşmesi gerekir. Yani, değer kümesindeki bir elemana tanım kümesinden birden fazla eleman gitmiyorsa o fonksiyon bire birdir.
Matematiksel Tanım: \( f: A \rightarrow B \) fonksiyonu için,
\( x_1, x_2 \in A \) ve \( x_1 \neq x_2 \) iken \( f(x_1) \neq f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu bire birdir.
Veya, \( f(x_1) = f(x_2) \) ise \( x_1 = x_2 \) olmalıdır.
Grafikle Anlama (Yatay Doğru Testi): Bir fonksiyonun grafiği çizildiğinde, x-eksenine paralel çizilen her yatay doğru, grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire birdir.
Örnek: \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonu bire birdir.
Çünkü \( f(x_1) = f(x_2) \) diyelim:
\( 2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \)
\( 2x_1 = 2x_2 \)
\( x_1 = x_2 \) sonucuna ulaşırız.
Bir fonksiyonun örten olması için, değer kümesinde eşleşmemiş, boşta eleman kalmaması gerekir. Değer kümesindeki her eleman, tanım kümesindeki en az bir eleman tarafından "görülmelidir".
Matematiksel Tanım: \( f: A \rightarrow B \) fonksiyonu için,
her \( y \in B \) elemanı için \( f(x) = y \) olacak şekilde en az bir \( x \in A \) elemanı varsa, \( f \) fonksiyonu örtendir.
Örnek: \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonu örtendir.
Çünkü değer kümesindeki herhangi bir \( y \) elemanı için \( f(x) = y \) olacak şekilde bir \( x \) bulabiliriz:
\( y = 2x + 3 \)
\( y - 3 = 2x \)
\( x = \frac{y - 3}{2} \)
Her \( y \) gerçek sayısı için \( x \) de bir gerçek sayı olduğundan fonksiyon örtendir.
Eğer bir fonksiyon aynı zamanda hem bire bir hem de örten ise, bu fonksiyona bire bir ve örten fonksiyon denir. Bu tür fonksiyonlarda tanım kümesi ile değer kümesi arasında tam bir eşleme (1-1 ilişki) vardır.
Örnek: \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonu hem bire bir hem de örten olduğu için bire bir ve örten bir fonksiyondur.
Soru 1: \( f: R \rightarrow R \) olmak üzere, \( f(x) = 3x - 7 \) fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) Bire bir fonksiyondur, örten değildir.
b) Örten fonksiyondur, bire bir değildir.
c) Hem bire bir hem de örten fonksiyondur.
d) Bire bir değildir, örten değildir.
e) Fonksiyon değildir.
Cevap: c) Hem bire bir hem de örten fonksiyondur.
Çözüm: \( f(a) = f(b) \) ise \( 3a-7=3b-7 \) ve buradan \( a=b \) elde edilir. Bu, fonksiyonun bire bir olduğunu gösterir. Her \( y \in R \) için \( y=3x-7 \) denklemini sağlayan bir \( x = \frac{y+7}{3} \in R \) vardır. Bu da fonksiyonun örten olduğunu gösterir.
Soru 2: \( f: A \rightarrow B \), \( f(x) = 2x + 1 \) fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyondur. \( A = \{1, 2, 3\} \) ise B kümesi aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
a) {1, 2, 3}
b) {2, 4, 6}
c) {3, 5, 7}
d) {1, 3, 5}
e) {0, 1, 2}
Cevap: c) {3, 5, 7}
Çözüm: Fonksiyon örten olduğu için görüntü kümesi B kümesine eşit olmalıdır. Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünü bulalım: \( f(1)=3, f(2)=5, f(3)=7 \). Dolayısıyla \( B = \{3, 5, 7\} \) olur.
Soru 3: \( f: R \rightarrow R \) olmak üzere, \( f(x) = x^2 + 4x + 5 \) fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun bire bir ve örten olup olmadığını inceleyiniz.
a) Hem bire bir hem örtendir.
b) Bire birdir, örten değildir.
c) Bire bir değildir, örtendir.
d) Bire bir değildir, örten değildir.
e) Bire bir olup olmadığı parabolün tepe noktasına bağlıdır.
Cevap: d) Bire bir değildir, örten değildir.
Çözüm: İkinci dereceden bir fonksiyon (parabol) bire bir olamaz çünkü yatay bir doğruyu iki noktada kesebilir (örneğin, x=0 ve x=-4 için f(x)=5). Ayrıca, parabolün tepe noktası (r, k) = (-2, 1) olduğundan ve kolları yukarı doğru olduğundan görüntü kümesi [1, ∞)'dur. Bu, tüm gerçek sayılar kümesi (R) olmadığı için fonksiyon örten de değildir.
Soru 4: \( f: Z \rightarrow Z \) olmak üzere, \( f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{eğer } x \text{ tek ise} \\ x-1, & \text{eğer } x \text{ çift ise} \end{cases} \) şeklinde tanımlanıyor. Bu fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) Bire birdir, örten değildir.
b) Örtendir, bire bir değildir.
c) Hem bire bir hem de örtendir.
d) Bire bir değildir, örten değildir.
e) Tanımı gereği bir fonksiyon değildir.
Cevap: c) Hem bire bir hem de
