10. Sınıf Üçgenin Yardımcı Elemanları Nelerdir?

Question

Üçgenin yardımcı elemanlarını kenarortay, açıortay ve yükseklik olarak biliyorum ama bunların tam olarak nereden çizildiğini ve özelliklerini karıştırıyorum. Özellikle dik üçgenlerde ve çeşitkenar üçgenlerde bu elemanları bulmakta zorlanıyorum.

Answer 1

Üçgenin Yardımcı Elemanları

Bir üçgenin kenar ve açılarından başka, geometrik incelemelerde bize yardımcı olan ve belirli kurallarla çizilen özel doğru parçalarına yardımcı elemanlar denir. Bunlar kenarortay, açıortay, yükseklik ve kenar orta dikmedir.

1. Kenarortay (Medyan)

Bir üçgende bir köşeyi, karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.

• Her üçgenin 3 kenarortayı vardır.
• Kenarortaylar üçgenin iç bölgesinde bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir ve genellikle G harfi ile gösterilir.
• Ağırlık merkezi, her bir kenarortayı köşeden \( \frac{2}{3} \), kenardan \( \frac{1}{3} \) oranında böler.

2. Açıortay

Bir üçgende bir köşedeki açıyı iki eş açıya bölen ve karşı kenara uzanan doğru parçasına iç açıortay denir.

• Her üçgenin 3 iç açıortayı vardır.
• İç açıortaylar üçgenin iç bölgesinde bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir (İç Teğet Çember Merkezi).
• Açıortay Teoremi: Bir açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler. \( \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \)

3. Yükseklik

Bir üçgende bir köşeden, karşı kenarı taşıyan doğruya (karşı kenara) çizilen dikmeye yükseklik denir.

• Her üçgenin 3 yüksekliği vardır.
• Yüksekliklerin kesişim noktasına diklik merkezi denir.
• Dar açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin iç bölgesinde, geniş açılı üçgenlerde ise üçgenin dışındadır.

4. Kenar Orta Dikme

Bir üçgenin bir kenarını ortasında ve dik kesen doğruya kenar orta dikme denir.

• Her üçgenin 3 kenar orta dikmesi vardır.
• Kenar orta dikmeler bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin çevrel çemberinin merkezidir (Çevrel Çember Merkezi).
• Dik üçgenlerde çevrel çemberin merkezi, hipotenüsün orta noktasıdır.

Answer 2

10. Sınıf Üçgenin Yardımcı Elemanları Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde, A köşesinden çıkan kenarortay, yükseklik ve açıortayın aynı doğru üzerinde olduğu biliniyor. |AB| = 10 cm ve |AC| = 10 cm ise, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
a) ABC üçgeni dar açılı bir üçgendir.
b) |BC| = 12 cm'dir.
c) ABC üçgeni ikizkenar üçgendir.
d) A köşesinin karşısındaki kenara ait yükseklik 8 cm'dir.
e) ABC üçgeni eşkenar üçgendir.
Cevap: c) ABC üçgeni ikizkenar üçgendir.
Çözüm: Bir üçgende bir köşeden çıkan kenarortay, yükseklik ve açıortay aynı doğru üzerindeyse, bu üçgenin o köşedeki kenarları birbirine eşittir (İkizkenar Üçgen Teoremi). |AB| = |AC| = 10 cm verildiği için üçgenin ikizkenar olduğu kesindir. Diğer seçeneklerdeki ifadeler verilenlerle kesinleştirilemez.

Soru 2: Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi (R merkezi) nerededir ve yarıçapı (R) kaç cm'dir?
a) Üçgenin iç bölgesinde, R=4 cm
b) Hipotenüsün orta noktasında, R=5 cm
c) Dik açının olduğu köşede, R=6 cm
d) Ağırlık merkezinde, R=4 cm
e) Dik kenarların kesişim noktasında, R=5 cm
Cevap: b) Hipotenüsün orta noktasında, R=5 cm
Çözüm: Bir dik üçgende çevrel çemberin merkezi, hipotenüsün orta noktasıdır. Bu kural Thales Teoremi'nin bir sonucudur. Hipotenüsün uzunluğu 10 cm olduğuna göre, çevrel çemberin yarıçapı R hipotenüsün yarısı, yani 5 cm'dir.

Soru 3: Köşe koordinatları A(1, 3), B(5, 7) ve C(9, 3) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
a) G(4, 4.5)
b) G(5, \( \frac{13}{3} \))
c) G(6, 4.5)
d) G(5, 4.5)
e) G(\( \frac{15}{3} \), \( \frac{13}{3} \))
Cevap: b) G(5, \( \frac{13}{3} \))
Çözüm: Ağırlık merkezi koordinatları, köşelerin koordinatlarının aritmetik ortalaması alınarak bulunur.
\( G_x = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{1 + 5 + 9}{3} = \frac{15}{3} = 5 \)
\( G_y = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{3 + 7 + 3}{3} = \frac{13}{3} \)
Sonuç olarak ağırlık merkezinin koordinatları G(5, \( \frac{13}{3} \))'tür.