10. Sınıf Tema 3: Sayılar
Sayılar, matematiğin temelini oluşturan en önemli kavramlardan biridir. Bu temada, sayı kümelerini daha detaylı inceleyecek ve bu kümeler arasındaki ilişkileri öğreneceğiz.
1. Sayı Kümeleri
Sayılar, özelliklerine göre farklı kümelerde toplanır. Bu kümeleri ve aralarındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi gösterebiliriz:
- Doğal Sayılar (N): Sıfır ve pozitif tam sayılardan oluşur. N = {0, 1, 2, 3, ...}
- Sayma Sayıları (N⁺): Pozitif tam sayılardır. Sıfırı içermez. N⁺ = {1, 2, 3, ...}
- Tam Sayılar (Z): Negatif ve pozitif tüm tam sayıları ile sıfırı içerir. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
- Rasyonel Sayılar (Q): İki tam sayının oranı şeklinde \(\frac{a}{b}\) (b ≠ 0) yazılabilen sayılardır. Örneğin: \(\frac{1}{2}\), 0.75, -4, 5 (çünkü \(\frac{5}{1}\) şeklinde yazılabilir).
- İrrasyonel Sayılar (Q'): İki tam sayının oranı şeklinde YAZILAMAYAN sayılardır. Ondalık açılımları devirli değildir ve sonsuza gider. Örneğin: \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(e\).
- Gerçek (Reel) Sayılar (R): Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin birleşiminden oluşur. Sayı doğrusu üzerindeki her nokta bir gerçek sayıyı temsil eder.
2. Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi
Her rasyonel sayı ondalık olarak iki şekilde ifade edilebilir:
- Sonlu Ondalık Gösterim: Ondalık kısmı belirli bir basamaktan sonra biter. Örneğin: \(\frac{1}{2} = 0.5\), \(\frac{3}{4} = 0.75\)
- Devirli Ondalık Gösterim: Ondalık kısmındaki bir veya bir grup rakam sonsuza kadar tekrar eder. Bu tekrar eden kısım üzerine çizgi konularak gösterilir. Örneğin:
- \(\frac{1}{3} = 0.333... = 0.\overline{3}\)
- \(\frac{5}{6} = 0.8333... = 0.8\overline{3}\)
- \(\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}\)
3. Bir Sayının Ondalık Gösteriminin Sonlu veya Devirli Olması
Bir rasyonel sayıyı \(\frac{a}{b}\) şeklinde yazdığımızda (a ve b tam sayı, b ≠ 0), paydayı (b'yi) asal çarpanlarına ayırırız.
- Paydanın asal çarpanları sadece 2 ve/veya 5 ise, bu sayının ondalık gösterimi sonludur.
Örnek: \(\frac{3}{8}\). 8'in asal çarpanları 2'dir. Sonuç: 0.375
- Paydanın asal çarpanları arasında 2 ve 5'ten farklı bir sayı varsa, bu sayının ondalık gösterimi devirlidir.
Örnek: \(\frac{5}{6}\). 6'nın asal çarpanları 2 ve 3'tür. 3 olduğu için devirlidir: \(0.8
