10. Sınıf Dik Koordinat Sisteminde Doğrunun Analitik İncelenmesi

Question

Bu konuda doğrunun denklemini yazarken nereden başlayacağımı bazen karıştırıyorum. İki noktası verilen veya eğimi bilinen bir doğrunun denklemini oluşturmakta zorlanıyorum. Ayrıca doğruların birbirine göre durumlarını (paralellik, diklik) analitik düzlemde göstermekte de zorlanıyorum.

Answer 1

Dik Koordinat Sisteminde Doğrunun Analitik İncelenmesi

Analitik geometri, geometrik problemleri çözmek için cebirsel yöntemler kullanan matematik dalıdır. Bu ünitede, dik koordinat sisteminde doğruları denklemlerle ifade etmeyi ve bu denklemleri kullanarak doğruların özelliklerini incelemeyi öğreneceğiz.

1. İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Koordinat düzleminde verilen iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için Pisagor teoreminden yararlanırız.

Formül: \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları arasındaki uzaklık:
\( |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

2. Bir Doğrunun Eğimi (m)

Bir doğrunun x-ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açının tanjant değerine eğim denir ve genellikle m harfi ile gösterilir.

• İki noktası bilinen doğrunun eğimi: \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi:
  \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad (x_1 \neq x_2) \)
• Denklemi verilen doğrunun eğimi: Doğru denklemi \( y = mx + n \) şeklindeyse, eğim m sayısıdır.
• Yatay doğruların eğimi 0'dır (\( m = 0 \)).
• Dikey doğruların eğimi tanımsızdır (payda sıfır olduğu için).

3. Doğru Denklemleri

Bir doğruyu ifade etmenin birkaç farklı yolu vardır.

a) Eğim-Kesim Noktası Formu

Eğimi ve y-eksenini kestiği noktası bilinen doğrunun denklemidir.
\( y = mx + n \)
Burada;

• m: Doğrunun eğimi
• n: Doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı (y-keseni)

b) Eğim-Nokta Formu

Eğimi ve üzerindeki bir noktası bilinen doğrunun denklemidir.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
Burada \( (x_1, y_1) \) doğru üzerinde bilinen bir nokta, m ise eğimdir.

c) İki Nokta Formu

Üzerindeki iki noktası bilinen doğrunun denklemidir.
\( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)
Burada \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) doğru üzerindeki iki noktadır.

d) Eksenleri Kestiği Noktalar Bilinen Doğru Denklemi (Kesim Formu)

x-eksenini \( (a, 0) \), y-eksenini \( (0, b) \) noktasında kesen doğrunun denklemi:
\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)

e) Genel (Kapalı) Doğru Denklemi

Bir doğrunun tüm denklemleri düzenlendiğinde aşağıdaki forma getirilebilir.
\( Ax + By + C = 0 \)
Bu denklemde;

• Eğim: \( m = -\frac{A}{B} \quad (B \neq 0)

Answer 2

10. Sınıf Dik Koordinat Sisteminde Doğrunun Analitik İncelenmesi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Analitik düzlemde A(2, 1) ve B(5, 7) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
a) 1   b) 2   c) 3   d) 4   e) 5
Cevap: b) 2
Çözüm: İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)'dir. Buna göre, \( m = \frac{7 - 1}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2 \) olarak bulunur.

Soru 2: Eğimi -3 olan ve y eksenini 4 noktasında kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
a) y = 3x + 4   b) y = -3x + 4   c) y = -3x - 4   d) y = 4x - 3   e) y = 4x + 3
Cevap: b) y = -3x + 4
Çözüm: Eğimi ve y eksenini kestiği noktası bilinen doğrunun denklemi y = mx + n formatındadır. Eğim (m) = -3 ve y eksenini kestiği nokta (n) = 4 olduğundan denklem y = -3x + 4 olur.

Soru 3: Analitik düzlemde 2x - 3y + 6 = 0 doğrusu ile 4x - 6y - 5 = 0 doğrusunun birbirine göre durumu nedir?
a) Çakışıktır   b) Dik kesişir   c) Paraleldir   d) Kesişir   e) Eğimleri aynıdır
Cevap: c) Paraleldir
Çözüm: İki doğrunun paralel olması için katsayılar oranı \( \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} \) olmalıdır. \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) ve \( \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} \) olduğundan eğimler eşittir. \( \frac{6}{-5} = -\frac{6}{5} \) olduğu için sabit terimler oranı farklıdır. Dolayısıyla doğrular paraleldir.

Soru 4: A(1, k) noktası 3x + 2y - 10 = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre, k kaçtır?
a) 2.5   b) 3   c) 3.5   d) 4   e) 4.5
Cevap: c) 3.5
Çözüm: Bir nokta, doğru denklemini sağlamalıdır. Noktanın koordinatlarını (x=1, y=k) denklemde yerine koyalım: 3*(1) + 2*(k) - 10 = 0 → 3 + 2k - 10 = 0 → 2k - 7 = 0 → 2k = 7 → k = 3.5