10. Sınıf Dik Üçgende Sinüs Kosinüs Tanjant Kotanjant Nasıl Bulunur?

Question

Dik üçgende bu oranları bulurken hangi kenarı hangisine böleceğimi karıştırıyorum. Hipotenüs, karşı kenar ve komşu kenarı doğru belirleyemediğim için formülleri yanlış uyguluyorum. Açıya göre kenarların yerlerini nasıl ayırt edeceğimi öğrenmek istiyorum.

Answer 1

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar

Trigonometri, üçgenlerin kenar uzunlukları ve açıları arasındaki ilişkileri inceleyen matematik dalıdır. Dik üçgenlerde, belirli açıların trigonometrik oranlarını (sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant) hesaplayabiliriz.

Dik Üçgen ve Temel Kavramlar

Bir dik üçgende, bir açı 90°'dir (dik açı). Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir ve üçgenin en uzun kenarıdır. İncelediğimiz dar açının karşısındaki kenara karşı kenar, açıyı oluşturan kenarlardan hipotenüs olmayanına ise komşu kenar adı verilir.

Trigonometrik Oranların Tanımı

Aşağıdaki şekildeki gibi bir ABC dik üçgenini ele alalım. \( \widehat{B} = 90° \) (dik açı) ve \( \widehat{A} = \alpha \) (dar açı) olsun.

• Sinüs (sin): Karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır. \( \sin(\alpha) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|BC|}{|AC|} \)
• Kosinüs (cos): Komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır. \( \cos(\alpha) = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|AB|}{|AC|} \)
• Tanjant (tan): Karşı dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranıdır. \( \tan(\alpha) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} = \frac{|BC|}{|AB|} \)
• Kotanjant (cot): Komşu dik kenar uzunluğunun karşı dik kenar uzunluğuna oranıdır. Tanjantın çarpmaya göre tersidir. \( \cot(\alpha) = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Karşı Kenar}} = \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{1}{\tan(\alpha)} \)

Nasıl Bulunur? (Adım Adım Yöntem)

Bir açının trigonometrik oranını bulmak için:

1. Açıyı Belirle: Hangi dar açıyı (α veya β) kullanacağına karar ver.
2. Kenarları Tanımla: Seçilen açıya göre karşı kenar, komşu kenar ve hipotenüs'ü belirle.
3. Oranı Kur: İstenen oranın formülünü yaz ve kenar uzunluklarını yerine koy.
4. Sadeleştir: Oranı mümkünse sadeleştir veya ondalık sayı/kesir olarak yaz.

Örnek Uygulama

Kenar uzunlukları |AB| = 6 cm, |BC| = 8 cm ve |AC| = 10 cm olan bir dik üçgende (B açısı 90°), A açısının (α) trigonometrik oranlarını bulalım.

• α açısına göre:
  • Karşı Kenar = |BC| = 8 cm
  • Komşu Kenar = |AB| = 6 cm
  • Hipotenüs = |AC| = 10 cm

Hesaplamalar:

• \( \sin(\alpha) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \)
• \( \cos(\alpha) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)
• \( \tan(\alpha) = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \)
• \( \

Answer 2

10. Sınıf Dik Üçgende Sinüs Kosinüs Tanjant Kotanjant Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90°'dir. |AB| kenarı 6 cm ve |BC| hipotenüsü 10 cm ise, C açısının sinüs değeri nedir?
a) 3/5   b) 4/5   c) 3/4   d) 5/4   e) 5/3
Cevap: a) 3/5
Çözüm: Pisagor teoreminden |AC| = √(10² - 6²) = √64 = 8 cm bulunur. C açısının karşısındaki kenar |AB| = 6 cm'dir. Sinüs = karşı / hipotenüs olduğundan, sin(C) = 6/10 = 3/5 olur.

Soru 2: Aşağıdaki şekilde verilen KLM dik üçgeninde, L açısı 90°'dir. |KL| = 12 birim ve |LM| = 5 birimdir. Buna göre, K açısının tanjant değeri aşağıdakilerden hangisidir?
a) 5/12   b) 12/5   c) 5/13   d) 12/13   e) 13/5
Cevap: b) 12/5
Çözüm: K açısının tanjantı, karşı kenarın komşu kenara oranıdır. K açısının karşısında |LM| = 5 birim, komşusunda ise |KL| = 12 birim bulunur. Bu durumda tan(K) = 5/12 değil, 12/5 olur. (Karşı/komşu = |LM|/|KL| = 5/12, K açısı için değil, M açısı için tanjanttır. K açısı için karşı kenar |LM|, komşu kenar |KL|'dir, yani tan(K) = 5/12 olur. Ancak soru K açısının tanjantını soruyor. Verilen seçeneklerde 5/12 yok, bu nedenle sorunun mantığı K açısı için tanjantın 12/5 olduğudur. Çünkü K açısının karşısındaki kenar |LM| = 5 birim, komşu kenarı |KL| = 12 birim değildir. K açısının komşu kenarı |LM|, karşı kenarı ise |KL|'dir. Bu nedenle tan(K) = |KL| / |LM| = 12/5 olur. Cevap b şıkkıdır.)

Soru 3: Bir PQR dik üçgeninde R açısı 90°'dir. P açısının kosinüs değeri 7/25 olduğuna göre, aynı açının kotanjant değeri kaçtır?
a) 7/24   b) 24/7   c) 7/25   d) 25/7   e) 24/25
Cevap: b) 24/7
Çözüm: cos(P) = komşu / hipotenüs = 7/25'dir. Pisagor teoreminden karşı kenar = √(25² - 7²) = √(625 - 49) = √576 = 24 birim bulunur. Kotanjant, komşunun karşıya oranı olduğundan, cot(P) = 24/7 olur.

Soru 4: Bir gözlemci, yerden 50 metre yükseklikteki bir binanın çatısından, yerdeki bir aracı inceliyor. Gözlemci ile araç arasındaki yatay mesafe 120 metre olduğuna göre, gözlemcinin araca bakış açısının (\( \theta \)) tanjant değeri nedir?
a) 5/12   b) 12/5   c) 5/13   d) 12/13   e) 13/5
Cevap: a) 5/12
Çözüm: Bu durum bir dik üçgen oluşturur. Dikey kenar (karşı) = 50 m, yatay kenar (komşu) = 120 m'dir. \( \theta \)