10. Sınıf Trigonometrik Oranlar Nelerdir?

Question

Trigonometrik oranları tanımlamakta zorlanıyorum. Sinüs, kosinüs ve tanjantın ne olduğunu ve bir dik üçgende hangi kenarların oranına karşılık geldiğini öğrenmek istiyorum.

Answer 1

Trigonometrik Oranlar Nedir?

Trigonometri, üçgenlerin kenar uzunlukları ile açıları arasındaki ilişkiyi inceleyen matematik dalıdır. Trigonometrik oranlar ise bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki, komşusundaki kenarların ve hipotenüsün birbirine oranıdır. Bu oranlar üç tanedir: sinüs (sin), kosinüs (cos) ve tanjant (tan).

Temel Trigonometrik Oranlar

Aşağıdaki dik üçgene bakalım. A açısı bizim inceleyeceğimiz dar açı olsun.

• Karşı Dik Kenar: İncelenen açının (A) karşısında kalan kenardır. (BC kenarı)
• Komşu Dik Kenar: İncelenen açının (A) yanında bulunan dik kenardır. (AB kenarı)
• Hipotenüs: Dik açının karşısındaki, üçgenin en uzun kenarıdır. (AC kenarı)

Bu kenarları kullanarak A açısının trigonometrik oranlarını aşağıdaki gibi tanımlarız:

• Sinüs (sin A): Karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır. \( \sin A = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|BC|}{|AC|} \)
• Kosinüs (cos A): Komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır. \( \cos A = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|AB|}{|AC|} \)
• Tanjant (tan A): Karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır. \( \tan A = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} = \frac{|BC|}{|AB|} \)

Bir Örnekle Açıklama

Kenar uzunlukları 3-4-5 birim olan bir dik üçgen düşünelim. En küçük açıya (α açısı) bakalım.

• Bu açının karşısındaki kenar 3 birimdir.
• Bu açının komşusundaki kenar 4 birimdir.
• Hipotenüs ise 5 birimdir.

Bu durumda trigonometrik oranlarımız:

• \( \sin \alpha = \frac{3}{5} = 0.6 \)
• \( \cos \alpha = \frac{4}{5} = 0.8 \)
• \( \tan \alpha = \frac{3}{4} = 0.75 \)

Önemli Bir İlişki

Bir açının tanjant değeri, aynı açının sinüs ve kosinüs değerlerinin oranına da eşittir.

\( \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \)

Yukarıdaki örnekte de bu ilişkiyi görebiliriz: \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0.6}{0.8} = 0.75 = \tan \alpha \)

Sonuç

Trigonometrik oranlar, bir dik üçgende açı ve kenarlar arasında sabit bir ilişki kurar. Bu sayede bir açının değeri bilindiğinde kenar uzunluklarını, veya kenar uzunlukları bilindiğinde açıların trigonometrik değerlerini bulabiliriz. Bu oranlar fizik, mühendislik ve astronomi gibi birçok alanda yaygın olarak kullanılır.

Answer 2

10. Sınıf Trigonometrik Oranlar Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC dik üçgeninde, A açısının ölçüsü 30°'dir. |AB| kenarının uzunluğu 12 cm olduğuna göre, bu açının karşısındaki |BC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
a) 4 b) 6 c) 6√3 d) 12 e) 12√3
Cevap: b) 6
Çözüm: A açısının karşısındaki kenar |BC|'dir. sin30° = Karşı / Hipotenüs formülünden yola çıkarız. sin30° = 1/2 olduğu için, 1/2 = |BC| / 12 → |BC| = 6 cm bulunur.

Soru 2: Şekildeki dik üçgende |AC| = 10 cm ve |BC| = 6 cm'dir. Buna göre, tan(β) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
a) 3/4 b) 4/3 c) 4/5 d) 3/5 e) 5/4
Cevap: b) 4/3
Çözüm: Öncelikle Pisagor teoremi ile |AB| kenarını bulalım: |AB|² + 6² = 10² → |AB|² = 64 → |AB| = 8 cm. tan(β) = Karşı / Komşu = |AC| / |AB| = 6 / 8 = 3/4. Ancak dikkat! β açısının karşısındaki kenar |AC| (6 cm), komşu kenarı ise |AB|'dir (8 cm). Soru kökü tan(β) değerini sorduğu için cevap 6/8 = 3/4'tür.

Soru 3: Aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
I. sin²x + cos²x = 1
II. tanx = sinx / cosx
III. Bir dar açının sinüs değeri, kosinüs değerinden her zaman büyüktür.
a) Yalnız I b) Yalnız II c) I ve II d) II ve III e) I, II ve III
Cevap: c) I ve II
Çözüm: I. ifade temel trigonometrik özdeşliktir ve her zaman doğrudur. II. ifade tanjantın tanımıdır ve doğrudur. III. ifade ise hatalıdır. Örneğin, 60° açısı için sin60° = √3/2 ≈ 0,86 ve cos60° = 1/2 = 0,5'tir (sin > cos). Ancak 30° açısı için sin30° = 0,5 ve cos30° ≈ 0,86'dır (cos > sin). Bu durum, açı 45°'den küçükse kosinüsün, büyükse sinüsün daha büyük olduğunu gösterir. "Her zaman" ifadesi yanlıştır.