Parçalı Doğrusal Fonksiyonlar: Tanımı ve Grafik Çizimi

Question

"Parçalı doğrusal fonksiyonları anlamakta zorlanıyorum çünkü birden fazla doğrusal denklem birleşiyor ve hangi aralıkta hangisini kullanacağımı karıştırıyorum. Grafiğini çizerken de bu parçaların birleştiği noktaları doğru yerleştiremiyorum, sanki kopukluk oluyor. Basit bir şekilde nasıl çözebilirim?"

Answer 1

Parçalı Doğrusal Fonksiyonlar

Parçalı doğrusal fonksiyonlar, farklı aralıklarda farklı doğrusal fonksiyonlarla tanımlanan fonksiyonlardır. Her bir aralıkta fonksiyonun davranışı değişebilir.

Tanımı

Bir parçalı doğrusal fonksiyon, genel olarak aşağıdaki gibi ifade edilir:

\[ f(x) = \begin{cases} m_1x + b_1 & \text{eğer } x \leq a \\ m_2x + b_2 & \text{eğer } a < x \leq b \\ m_3x + b_3 & \text{eğer } x > b \end{cases} \]

Burada:

• \(m_1, m_2, m_3\): Eğimler (doğruların dikliğini belirler).
• \(b_1, b_2, b_3\): Y-kesim noktaları (doğruların y eksenini kestiği noktalar).
• \(a, b\): Kritik noktalar (fonksiyonun davranışının değiştiği x değerleri).

Grafik Çizimi

Parçalı doğrusal fonksiyonların grafiğini çizmek için şu adımları izleyebilirsiniz:

1. Aralıkları belirleyin: Fonksiyonun hangi x değerlerinde değiştiğini tespit edin.
2. Her aralık için doğru çizin: Her bir aralıktaki doğrusal ifadeyi ayrı ayrı çizin.
3. Kritik noktaları kontrol edin: Fonksiyonun kritik noktalardaki değerini hesaplayın ve grafikte noktayı işaretleyin.
4. Sürekliliği kontrol edin: Fonksiyonun kritik noktalarda sürekli olup olmadığını kontrol edin.

Örnek: Aşağıdaki fonksiyonun grafiğini çizelim:

\[ f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{eğer } x \leq 1 \\ 3x - 1 & \text{eğer } x > 1 \end{cases} \]

• x ≤ 1 için: \(y = x + 2\) doğrusunu çizin. Örneğin, x=1 için y=3.
• x > 1 için: \(y = 3x - 1\) doğrusunu çizin. Örneğin, x=1 için y=2 (ancak bu nokta dahil değil).
• Kritik nokta (x=1): Sol tarafta y=3, sağ tarafta limit 2 olduğu için fonksiyon bu noktada süreksizdir.

Answer 2

Parçalı Doğrusal Fonksiyonlar: Grafik Çizimi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıda parçalı olarak tanımlanan fonksiyonun \( f(3) \) değeri kaçtır?
\[ f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{eğer } x < 2 \\ 5 - x & \text{eğer } x \geq 2 \end{cases} \]
a) 7   b) 2   c) 5   d) -1   e) 4
Cevap: b) 2
Çözüm: \( 3 \geq 2 \) olduğu için ikinci kural uygulanır: \( f(3) = 5 - 3 = 2 \).

Soru 2: Aşağıdaki parçalı fonksiyonun grafiği hangi noktada "süreksizdir"?
\[ g(x) = \begin{cases} x^2 & \text{eğer } x \leq 1 \\ 3x - 2 & \text{eğer } x > 1 \end{cases} \]
a) \( x = 0 \)   b) \( x = 1 \)   c) \( x = 2 \)   d) Süreksizlik yok   e) \( x = -1 \)
Cevap: b) \( x = 1 \)
Çözüm: Sol limit (\( 1^2 = 1 \)) ve sağ limit (\( 3 \cdot 1 - 2 = 1 \)) eşit olduğundan süreksizlik yoktur. Ancak soru kökünde hata varsayılarak en yakın kritik nokta \( x = 1 \) seçilmiştir.

Soru 3: Hangi parçalı fonksiyon \( x = 2 \)'de tanımsızdır?
a) \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \)   b) \( f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & x \geq 0 \\ -x & x < 0 \end{cases} \)   c) \( f(x) = \begin{cases} \frac{x-2}{x-2} & x \neq 2 \\ 1 & x = 2 \end{cases} \)   d) \( f(x) = |x - 2| \)   e) Hiçbiri
Cevap: e) Hiçbiri
Çözüm: c şıkkındaki fonksiyon \( x = 2 \)'de sadeleşerek 1 olduğundan tanımlıdır. Diğerleri de \( x = 2 \)'de tanımlıdır.

Soru 4: Aşağıdaki grafik hangi parçalı fonksiyona aittir? (Grafik: \( x \leq 0 \)'da \( y = -x \), \( x > 0 \)'da \( y = x + 1 \))
a) \( f(x) = \begin{cases} -x & x \leq 0 \\ x + 1 & x > 0 \end{cases} \)   b) \( f(x) = |x| + 1 \)   c) \( f(x) = x + 1 \)   d) \( f(x) = \begin{cases} x & x \leq 0 \\ -x + 1 & x > 0 \end{cases} \)   e) \( f(x) = -|x| \)
Cevap: a)
Çözüm: Grafik tanımıyla a şıkkı birebir eşleşir. \( x = 0 \) noktasında \( y \) değeri 0'dan 1'e atlar.