10. Sınıf Rasyonel Fonksiyon Grafiği ve Özellikleri

Question

Rasyonel fonksiyonların grafiğini çizerken, özellikle tanımsız olduğu noktaları ve asimptotları belirlemekte zorlanıyorum. Paydayı sıfır yapan değerler ve limit kavramı kafamı biraz karıştırıyor. Grafiğin bu özelliklere göre nasıl şekillendiğini tam olarak kavrayamadım.

Answer 1

Rasyonel Fonksiyonlar

Rasyonel fonksiyonlar, iki polinomun birbirine bölümü şeklinde yazılabilen fonksiyonlardır. Genel formülü:

\( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \)

Burada \( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinomdur ve \( Q(x) \neq 0 \)'dır.

Rasyonel Fonksiyonların Grafiği

Rasyonel fonksiyonların grafikleri, hiperbol adı verilen eğrilerden oluşur. Bu grafikleri çizerken dikkat edilmesi gereken dört önemli özellik vardır:

1. Tanım Kümesi

Bir rasyonel fonksiyon, paydayı sıfır yapan x değerlerinde tanımsızdır. Bu nedenle fonksiyonun tanım kümesi, paydayı sıfır yapan değerler dışındaki tüm gerçek sayılardır.

Örnek: \( f(x) = \frac{1}{x-2} \) fonksiyonu, \( x=2 \) noktasında tanımsızdır. Tanım kümesi: \( \mathbb{R} - \{2\} \)

2. Düşey Asimptot

Paydayı sıfır yapan ve payı sıfır yapmayan x değerlerinden geçen düşey asimptotlar vardır. Grafik bu düşey çizgilere asla değmez, sadece yaklaşır.

Örnek: \( f(x) = \frac{1}{x-2} \) fonksiyonunun düşey asimptotu \( x=2 \) doğrusudur.

3. Yatay Asimptot

Yatay asimptot, x değeri çok büyük pozitif veya çok küçük negatif değerler aldığında fonksiyonun yaklaştığı y değeridir. Yatay asimptotu bulmak için pay ve paydanın derecelerine bakılır:

• Payın derecesi < Paydanın derecesi ise, yatay asimptot \( y=0 \)'dır (x ekseni).
• Payın derecesi = Paydanın derecesi ise, yatay asimptot, başkatsayıların oranına eşittir (\( y = \frac{a}{b} \)).
• Payın derecesi > Paydanın derecesi ise, yatay asimptot yoktur (eğik asimptot vardır).

Örnek: \( f(x) = \frac{2x}{x+1} \) fonksiyonunda pay ve paydanın dereceleri eşit (1) olduğu için yatay asimptot, başkatsayıların oranı olan \( y=\frac{2}{1}=2 \) doğrusudur.

4. X ve Y Eksenini Kestiği Noktalar

• x eksenini kestiği noktalar: Payı sıfır yapan (paydayı sıfır yapmayan) x değerleridir. (\( y=0 \) olduğu noktalar)
• y eksenini kestiği nokta: \( x=0 \) değeri fonksiyonda yerine yazılarak bulunur. (\( x=0 \) olduğu nokta)

Örnek: \( f(x) = \frac{x-1}{x+2} \) fonksiyonu için:
x eksenini kestiği nokta: Payı sıfır yapan \( x=1 \) noktasıdır. (\( (1, 0) \) noktası)
y eksenini kestiği nokta: \( x=0 \) yazarsak, \( f(0) = \frac{-1}{2} \) olur. (\( (0, -\frac{1}{2}) \) noktası)

Grafiği Çizme Adımları

1. Tanım kümesini belirle (Paydayı sıfır yapan değerleri bul).
   Yanıtla