Önerme, doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere denir. Önermeler, mantığın temel yapı taşlarından biridir ve matematiksel ispatlarda sıkça kullanılır.
Bir önermenin doğru veya yanlış olmasına doğruluk değeri denir. Matematiksel olarak:
Örnek: "Bir yıl 12 aydır." ifadesinin doğruluk değeri \( 1 \)'dir.
1. Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir önerme değildir?
a) Ankara Türkiye'nin başkentidir.
b) 2 + 3 = 5
c) Matematik çok zevkli bir derstir.
d) Bugün hava çok güzel!
e) \( \sqrt{16} = 4 \)
Cevap: d) "Bugün hava çok güzel!" ifadesi kişisel yargı içerdiği için önerme değildir. Önermelerin doğru veya yanlış olarak kesin hüküm vermesi gerekir.
2. p: "Asal sayılar 1'den büyük doğal sayılardır.", q: "2 en küçük asal sayıdır." önermeleri veriliyor. Buna göre \( p \land q' \) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir?
a) 0
b) 1
c) p
d) q
e) Tanımsız
Cevap: a) p ≡ 1 (doğru), q ≡ 1 (doğru) olduğundan \( q' ≡ 0 \) olur. \( 1 \land 0 = 0 \) sonucunu verir.
3. "Eğer bir sayı 4'e bölünüyorsa, 2'ye de bölünür." önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?
a) Bir sayı 2'ye bölünmüyorsa, 4'e de bölünmez.
b) Bir sayı 4'e bölünmüyorsa, 2'ye de bölünmez.
c) Bir sayı 2'ye bölünüyorsa, 4'e de bölünür.
d) Bir sayı 4'e bölünüyorsa, 2'ye bölünmez.
e) Hiçbiri
Cevap: a) Orijinal önerme \( p \to q \) şeklindeyse, karşıt tersi \( q' \to p' \) olur. Bu durumda "2'ye bölünmüyorsa (q'), 4'e de bölünmez (p')" ifadesi doğru karşıt tersidir.
1. Bir önermenin doğru veya yanlış olmasına o önermenin __________ denir.
2. "2 + 2 = 5" ifadesi bir __________ örneğidir.
3. \( p \) ve \( q \) önermelerinin her ikisi de doğru ise \( p \land q \) önermesi __________ olur.
4. "Ankara Türkiye'nin başkentidir." ifadesi bir önermedir. (D/Y)
5. "Bugün hava çok güzel!" ifadesi bir önermedir. (D/Y)
6. \( p \lor \lnot p \) önermesi her zaman doğrudur. (D/Y)
7. __________ : \( p \) ve \( q \) önermelerinin en az biri doğru ise doğru olur.
8. __________ : \( p \) önermesinin tersi.
9. __________ : \( p \) ve \( q \) önermelerinin her ikisi de doğru ise doğru olur.
10. Bir önerme örneği yazınız ve neden önerme olduğunu açıklayınız.
11. \( p \) önermesi doğru, \( q \) önermesi yanlış ise \( p \lor q \) önermesinin doğruluk değeri nedir?
12. Aşağıdakilerden hangisi bir önermedir?
a) Lütfen kapıyı kapatın.
b) 3 asal bir sayıdır.
c) Ne güzel bir gün!
d) Hızlı koş!
Cevaplar:
1: doğruluk değeri
2: yanlış önerme
3: doğru
4: D
5: Y
6: D
7: B
8: C
9: A
10: (Öğrenci cevabı)
11: doğru
12: b
Soru 1: Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir önerme değildir?
a) Ankara, Türkiye'nin başkentidir.
b) 2 + 3 = 5
c) Matematik çok zevklidir.
d) Bugün hava güneşli.
e) Lütfen pencereyi aç.
Cevap: e) Lütfen pencereyi aç.
Çözüm: Önerme, doğru veya yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadedir. "e" seçeneği bir emir cümlesi olduğu için önerme değildir.
Soru 2: \( p: "3 asal sayıdır" \) ve \( q: "4 çift sayıdır" \) önermeleri veriliyor. Buna göre \( p \land q' \) önermesinin doğruluk değeri nedir? (q', q'nun değilidir)
a) 0
b) 1
c) p
d) q
e) Tanımsız
Cevap: a) 0
Çözüm: \( p \) doğru (1), \( q \) doğru (1) olduğundan \( q' \) yanlıştır (0). \( 1 \land 0 = 0 \) olur.
Soru 3: "Eğer yağmur yağarsa, yerler ıslanır." önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?
a) Yağmur yağmazsa yerler ıslanmaz.
b) Yerler ıslanmazsa yağmur yağmamıştır.
c) Yerler ıslanırsa yağmur yağmıştır.
d) Yağmur yağar ve yerler ıslanır.
e) Hiçbiri
Cevap: b) Yerler ıslanmazsa yağmur yağmamıştır.
Çözüm: Karşıt ters, "\( p \Rightarrow q \)" önermesinde "\( \neg q \Rightarrow \neg p \)" şeklinde bulunur.
