Kesirli mutlak değer fonksiyonları nasıl çözülür?

Question

Mutlak değer içinde kesirli ifadeler olduğunda ne yapacağımı tam kestiremiyorum. Pay ve paydaya ayrı ayrı mı mutlak değer uygulayacağım, yoksa kesrin tamamını mı düşünmeliyim? Özellikle eşitsizliklerde işaret değiştirirken kafam karışıyor.

Answer 1

Kesirli Mutlak Değer Fonksiyonlarının Çözümü

Kesirli mutlak değer fonksiyonları, pay veya paydada mutlak değer içeren ifadeler bulunduran fonksiyonlardır. Bu tür fonksiyonları çözerken aşağıdaki adımları takip edebilirsiniz:

1. Mutlak Değer İfadelerini Parçalara Ayırma

Mutlak değer fonksiyonları, içlerindeki ifadenin işaretine göre farklı davranır. Bu nedenle, mutlak değerin içindeki ifadenin sıfıra eşit olduğu noktaları bulmalı ve bu noktalara göre fonksiyonu parçalara ayırmalısınız.

Örnek: \( f(x) = \frac{|x - 2|}{x + 1} \) fonksiyonunda:

• \( |x - 2| \) ifadesi için kritik nokta \( x = 2 \)'dir.
• Payda \( x + 1 = 0 \) olduğunda fonksiyon tanımsızdır (\( x = -1 \)).

2. Tanım Kümesini Belirleme

Fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkları belirleyin:

• Paydanın sıfır olduğu noktalar hariç tüm reel sayılar.
• Örnekte \( x \neq -1 \) olmalıdır.

3. Mutlak Değer İfadesini Parçalı Fonksiyona Dönüştürme

Mutlak değer ifadesini, kritik noktaya göre iki farklı durumda yazın:

• \( x - 2 \geq 0 \) ise (\( x \geq 2 \)): \( |x - 2| = x - 2 \)
• \( x - 2 < 0 \) ise (\( x < 2 \)): \( |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x \)

Bu durumda fonksiyon:

• \( x \geq 2 \) için: \( f(x) = \frac{x - 2}{x + 1} \)
• \( x < 2 \) için: \( f(x) = \frac{2 - x}{x + 1} \)

4. Her Aralıkta Fonksiyonu Çözme

Her bir parçada fonksiyonu ayrı ayrı çözebilirsiniz. Örneğin:

• Sadeleştirme: Pay ve paydayı ortak çarpanlara ayırmayı deneyin.
• Limitler: Kritik noktalarda limitleri inceleyin.

5. Grafik Çizimi (İsteğe Bağlı)

Fonksiyonun grafiğini çizerken:

• Her bir parçayı ayrı ayrı çizin.
• Kritik noktalarda süreksizlik olup olmadığını kontrol edin.

Not: Kesirli mutlak değer fonksiyonlarında paydanın sıfır olduğu noktalara (dikey asimptot) dikkat edin!

Answer 2

Kesirli Mutlak Değer Fonksiyonları Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( f(x) = \left| \frac{2x - 1}{3} \right| \) fonksiyonu için \( f(x) = 4 \) eşitliğini sağlayan \( x \) değerlerinin toplamı kaçtır?
a) 1   b) 2   c) 3   d) 4   e) 5
Cevap: a) 1
Çözüm: Mutlak değer tanımından \( \frac{2x-1}{3} = 4 \) veya \( \frac{2x-1}{3} = -4 \) olmalıdır. Denklemler çözülürse \( x = \frac{13}{2} \) ve \( x = -\frac{11}{2} \) bulunur. Toplamları \( \frac{13}{2} - \frac{11}{2} = 1 \) olur.

Soru 2: \( \left| \frac{x + 2}{x - 1} \right| \leq 2 \) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı tam sayı \( x \) değeri vardır?
a) 2   b) 3   c) 4   d) 5   e) 6
Cevap: c) 4
Çözüm: Eşitsizlik \( -2 \leq \frac{x+2}{x-1} \leq 2 \) şeklinde yazılır. Paydayı sıfır yapan \( x = 1 \) hariç, çözüm kümesi \( x \in [0, 4] \) aralığıdır. Bu aralıkta 0, 2, 3, 4 olmak üzere 4 tam sayı vardır.

Soru 3: \( f(x) = \left| \frac{3 - x}{2x + 1} \right| \) fonksiyonunun tanımsız olduğu \( x \) değeri için \( f(2) \) kaçtır?
a) 0   b) \( \frac{1}{5} \)   c) \( \frac{2}{5} \)   d) \( \frac{1}{2} \)   e) 1
Cevap: b) \( \frac{1}{5} \)
Çözüm: Paydayı sıfır yapan \( x = -\frac{1}{2} \) tanımsızlık noktasıdır. \( f(2) = \left| \frac{3-2}{4+1} \right| = \frac{1}{5} \) bulunur.

Soru 4: \( \left| \frac{5x - 1}{2} \right| = \left| \frac{x + 3}{4} \right| \) denkleminin çözüm kümesindeki elemanların çarpımı kaçtır?
a) \( -\frac{5}{21} \)   b) \( -\frac{1}{7} \)   c) \( \frac{1}{7} \)   d) \( \frac{5}{21} \)   e) \( \frac{1}{3} \)
Cevap: a) \( -\frac{5}{21} \)
Çözüm: İki mutlak değer ifadesi ya eşit ya da zıt işaretlidir. Denklemler çözülürse \( x = \frac{5}{21} \) ve \( x = -\frac{1}{7} \) bulunur. Çarpımları \( -\frac{5}{21} \)'dir.