Birim fonksiyon nedir?

Question

Birim fonksiyonun tanımını biliyorum ama tam olarak ne işe yaradığını anlamakta zorlanıyorum. Fonksiyonun tanım ve görüntü kümesi aynı olunca neden özel bir ismi var, onu merak ediyorum. Ayrıca grafikte nasıl gösterildiğini de tam kavrayamadım.

Answer 1

Birim Fonksiyon (Özdeşlik Fonksiyonu) Nedir?

Matematikte, özellikle fonksiyonlar konusunda, birim fonksiyon (veya özdeşlik fonksiyonu) çok basit ama temel bir fonksiyon türüdür.

Tanım: Tanım kümesindeki her bir elemanı, yine kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

Yani, bir \( f: A \to A \) fonksiyonu için, \( A \) tanım kümesindeki her \( x \) elemanı için;

\( f(x) = x \)

eşitliği sağlanıyorsa, \( f \) fonksiyonu bir birim fonksiyondur.

Birim Fonksiyonun Özellikleri

• Kuralı basittir: Fonksiyon kuralı her zaman \( f(x) = x \) şeklindedir.
• Grafiği bellidir: Koordinat sisteminde orijinden geçen ve birinci açıortay olan \( y = x \) doğrusudur.
• Birebir ve Örtendir: Birim fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesinde farklı bir elemana götürdüğü için birebirdir. Aynı zamanda, değer kümesindeki her eleman tanım kümesindeki bir eleman tarafından "görüldüğü" için örtendir. Bu nedenle birim fonksiyon aynı zamanda bijektif bir fonksiyondur.

Örnekler

• Örnek 1: \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = x \) fonksiyonu, gerçek sayılar üzerinde tanımlı bir birim fonksiyondur. \( f(5) = 5 \), \( f(-3) = -3 \), \( f(a) = a \).
• Örnek 2: \( g: \{1, 2, 3\} \to \{1, 2, 3\} \) fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlansın:
  \( g(1) = 1 \), \( g(2) = 2 \), \( g(3) = 3 \)
  Bu fonksiyon da bir birim fonksiyondur.
• Örnek 3 (Birim Fonksiyon Olmayan): \( h: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( h(x) = 2x \) fonksiyonu bir birim fonksiyon değildir. Çünkü örneğin \( h(5) = 10 \) olur, yani elemanı kendisine eşlemez.

Özetle: Bir fonksiyonun birim fonksiyon olup olmadığını anlamak için, fonksiyonun her elemanı kendisine götürüyor mu diye bakmak yeterlidir. Fonksiyon kuralı sadece "x" ise, o fonksiyon büyük olasılıkla bir birim fonksiyondur.

Answer 2

Birim Fonksiyon Çözümlü Test Soruları

Soru 1: f: R → R fonksiyonu için f(x) = (a-2)x + b + 3 şeklinde veriliyor. f fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Cevap: c) 3
Çözüm: Birim fonksiyonda f(x) = x olmalıdır. Bu durumda (a-2) = 1 ve b + 3 = 0 olmalıdır. a = 3, b = -3 bulunur. a + b = 3 + (-3) = 0 olur.

Soru 2: A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlı f: A → A fonksiyonu birim fonksiyondur. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) f(1) = 2
b) f(2) = 3
c) f(3) = 1
d) f(4) = 4
e) f(1) = 4
Cevap: d) f(4) = 4
Çözüm: Birim fonksiyonda her eleman kendisine eşlenir. Bu nedenle f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 4 olmalıdır.

Soru 3: f: R → R fonksiyonu f(x) = (m²-4)x + n şeklinde veriliyor. f fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, m·n çarpımı kaçtır?
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
Cevap: a) 0
Çözüm: Birim fonksiyon olması için f(x) = x olmalıdır. Bu durumda m²-4 = 1 ve n = 0 olmalıdır. m² = 5, n = 0 bulunur. m·n = m·0 = 0 olur.

Soru 4: f: R → R fonksiyonu f(x) = ax + b şeklinde bir doğrusal fonksiyondur. f fonksiyonunun birim fonksiyon olabilmesi için a ve b değerleri ne olmalıdır?
a) a = 0, b = 1
b) a = 1, b = 0
c) a = 1, b = 1
d) a = 0, b = 0
e) a = 2, b = -1
Cevap: b) a = 1, b = 0
Çözüm: Birim fonksiyon f(x) = x şeklinde tanımlandığı için, doğrusal fonksiyonun birim fonksiyon olması için a = 1 ve b = 0 olmalıdır.