9. Sınıf Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlik İçeren Problemler Nedir?

Question

Mutlak değerli denklem ve eşitsizlikler, içindeki ifadenin pozitif veya negatif olmasına göre farklı şekilde çözülüyor. Özellikle mutlak değerin içindeki x'i bulurken iki farklı durum oluyor ve bu beni karıştırıyor. Eşitsizliklerde ise çözüm aralığını belirlerken hangi tarafın negatif, hangi tarafın pozitif olduğunu anlamakta zorlanıyorum.

Answer 1

Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler

Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve her zaman pozitif bir değerdir. Matematiksel olarak, bir \( x \) reel sayısının mutlak değeri \( |x| \) şeklinde gösterilir:

• \( |x| = x \) eğer \( x \geq 0 \) ise,
• \( |x| = -x \) eğer \( x < 0 \) ise.

Mutlak Değerli Denklemler

Mutlak değer içeren denklemler, genellikle iki farklı durumun incelenmesiyle çözülür. Örneğin:

Örnek: \( |2x - 3| = 5 \) denklemini çözelim.

• Durum 1: \( 2x - 3 = 5 \) → \( 2x = 8 \) → \( x = 4 \)
• Durum 2: \( 2x - 3 = -5 \) → \( 2x = -2 \) → \( x = -1 \)

Çözüm kümesi: \( x = \{-1, 4\} \).

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Mutlak değerli eşitsizlikler, belirli aralıklardaki değerleri ifade eder. Temel kurallar:

• \( |x| < a \): \( -a < x < a \) (a > 0 ise)
• \( |x| > a \): \( x < -a \) veya \( x > a \) (a > 0 ise)

Örnek: \( |3x + 2| \leq 8 \) eşitsizliğini çözelim.

• \( -8 \leq 3x + 2 \leq 8 \)
• Her taraftan 2 çıkaralım: \( -10 \leq 3x \leq 6 \)
• 3'e bölelim: \( -\frac{10}{3} \leq x \leq 2 \)

Çözüm kümesi: \( \left[-\frac{10}{3}, 2\right] \).

Problem Çözme Adımları

1. Mutlak değer ifadesini yalnız bırak.
2. Denklem veya eşitsizliği iki duruma ayır.
3. Her durumu ayrı ayrı çöz.
4. Çözümleri birleştirerek sonucu bul.

Uyarı: Mutlak değerli ifadelerin içinin sıfır olduğu noktaları (kritik noktalar) kontrol etmeyi unutma!

Answer 2

9. Sınıf Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlik İçeren Problemler Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir fabrikada üretilen bir ürünün boyut toleransı \( |x - 5| \leq 2 \) cm ile belirlenmiştir. Bu ürünün kabul edilebilir boyut aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
a) [3, 7]   b) (3, 7)   c) [2, 8]   d) [5, 7]   e) (0, 5]
Cevap: a) [3, 7]
Çözüm: \( |x - 5| \leq 2 \) ifadesi \( -2 \leq x - 5 \leq 2 \) şeklinde çözülür. Her tarafa 5 eklenirse \( 3 \leq x \leq 7 \) elde edilir.

Soru 2: \( |2x + 1| = 7 \) denklemini sağlayan \( x \) değerlerinin çarpımı kaçtır?
a) -12   b) -6   c) 0   d) 6   e) 12
Cevap: a) -12
Çözüm: Mutlak değerli denklem \( 2x + 1 = 7 \) veya \( 2x + 1 = -7 \) şeklinde ayrılır. Çözümler \( x = 3 \) ve \( x = -4 \) olup çarpımları \( 3 \times (-4) = -12 \)'dir.

Soru 3: \( |x - 3| > 1 \) eşitsizliğini sağlamayan kaç tam sayı vardır?
a) 1   b) 2   c) 3   d) 4   e) 5
Cevap: c) 3
Çözüm: Eşitsizlik \( x - 3 < -1 \) veya \( x - 3 > 1 \) şeklinde çözülür. Çözüm kümesi \( x < 2 \) veya \( x > 4 \)'tür. Sağlamayan tam sayılar \( 2, 3, 4 \) olup 3 tanedir.

Soru 4: Bir depodaki su seviyesi \( |2t - 10| \) cm olarak ölçülmüştür. \( t \) saat sonra su seviyesinin 6 cm'den az olması için \( t \) hangi aralıkta olmalıdır?
a) (2, 8)   b) [2, 8]   c) (0, 5)   d) (1, 4)   e) (3, 7)
Cevap: a) (2, 8)
Çözüm: \( |2t - 10| < 6 \) eşitsizliği \( -6 < 2t - 10 < 6 \) şeklinde çözülür. Her tarafa 10 ekleyip 2'ye bölersek \( 2 < t < 8 \) aralığı bulunur.