Kök Dışına Nasıl Çıkılır? Kural ve Örneklerle

Question

Karekök içindeki bir sayıyı kök dışına çıkarmak için tam kare çarpanlarını bulmak gerektiğini öğrendim. Ancak bazı sayıların içinde birden fazla çarpan olduğunda hangisini dışarı nasıl çıkaracağımı karıştırıyorum. Özellikle kökün başındaki küçük sayılar (kökün derecesi) farklı olduğunda işlem tamamen kafamı karıştırıyor.

Answer 1

Kök Dışına Çıkarma Nedir?

Bir sayıyı kök içinden çıkarmak, o sayıyı daha sade bir ifadeyle yazmaktır. Bu işlemi yapabilmek için kök içindeki sayının çarpanlarına ayrılması ve tam kare olan çarpanların kök dışına alınması gerekir.

Kök Dışına Çıkarma Kuralı

Kök içindeki bir ifade, çarpım halindeyken her çarpan ayrı ayrı kök içine alınabilir. Yani:

\( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)

Bu kuralı kullanarak, kök içindeki sayıyı tam kare bir sayı ve başka bir sayının çarpımı şeklinde yazarız. Tam kare olan kısım kök dışına katsayı olarak çıkar.

Adım Adım Kök Dışına Çıkarma

• 1. Adım: Kök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayır.
• 2. Adım: Asal çarpanları, üsleri çift olacak şekilde gruplandır. Bu gruplar tam kare sayıları verir.
• 3. Adım: Her tam kare grubu, kök dışına bir sayı olarak çıkar. Üssü çift olmayan (tek kalan) çarpanlar ise kök içinde kalır.

Örnekler

Örnek 1: \( \sqrt{12} \) ifadesini kök dışına çıkaralım.

• 12'yi asal çarpanlarına ayıralım: \( 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 \)
• Üssü çift olan \( 2^2 \) kök dışına 2 olarak çıkar.
• Üssü tek olan 3 ise kök içinde kalır.
• Sonuç: \( \sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \)

Örnek 2: \( \sqrt{50} \) ifadesini kök dışına çıkaralım.

• 50'yi asal çarpanlarına ayıralım: \( 50 = 5 \cdot 5 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2 \)
• Üssü çift olan \( 5^2 \) kök dışına 5 olarak çıkar.
• Üssü tek olan 2 ise kök içinde kalır.
• Sonuç: \( \sqrt{50} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \)

Örnek 3: \( \sqrt{72} \) ifadesini kök dışına çıkaralım.

• 72'yi asal çarpanlarına ayıralım: \( 72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 2 \cdot 3^2 \)
• \( 2^2 \) ve \( 3^2 \) tam karelerdir. Bunlar kök dışına \( 2 \cdot 3 = 6 \) olarak çıkar.
• Geriye kalan 2 çarpanı kök içinde kalır.
• Sonuç: \( \sqrt{72} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \)

Örnek 4 (Tam Kare Sayı): \( \sqrt{81} \) ifadesini inceleyelim.

• 81, \( 9^2 \) şeklinde bir tam karedir.
• Bu nedenle doğrudan kök dışına çıkar.
• Sonuç: \( \sqrt{81} = 9 \)

Önemli Uyarı

Kök dışına çıkarma işlemi sadece çarpanlar için geçerlidir. Toplam veya

Answer 2

Kök Dışına Çıkma Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( \sqrt{72} \) sayısının en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( 2\sqrt{18} \)
b) \( 6\sqrt{2} \)
c) \( 3\sqrt{8} \)
d) \( 8\sqrt{3} \)
Cevap: b) \( 6\sqrt{2} \)
Çözüm: 72 sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında \( 72 = 36 \times 2 = 6^2 \times 2 \) şeklinde yazılabilir. Kare olan ifade (\(6^2\)) kök dışına 6 olarak çıkar. Sonuç \( 6\sqrt{2} \) olur.

Soru 2: \( \sqrt{180} + \sqrt{45} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
a) \( 9\sqrt{5} \)
b) \( 15\sqrt{5} \)
c) \( 7\sqrt{5} \)
d) \( 5\sqrt{9} \)
Cevap: a) \( 9\sqrt{5} \)
Çözüm: Önce her terimi sadeleştirelim: \( \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5} \), \( \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \). Toplam: \( 6\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5} \).

Soru 3: \( \sqrt{32} - \sqrt{18} \) işleminin sonucu kaçtır?
a) \( \sqrt{14} \)
b) \( 2\sqrt{2} \)
c) \( \sqrt{2} \)
d) \( 5\sqrt{2} \)
Cevap: c) \( \sqrt{2} \)
Çözüm: Terimleri sadeleştirelim: \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \), \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \). Fark: \( 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2} \).

Soru 4: \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazıldığında \( \sqrt{98} \) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit olur?
a) \( 7\sqrt{2} \)
b) \( 2\sqrt{49} \)
c) \( 9\sqrt{2} \)
d) \( 7\sqrt{7} \)
Cevap: a) \( 7\sqrt{2} \)
Çözüm: 98 sayısı, 49 x 2 şeklinde yazılabilir. 49 bir tam kare olduğu için (\(7^2\)) kök dışına 7 olarak çıkar. Kalan 2 ise kök içinde kalır. Sonuç \( 7\sqrt{2} \) olur.