9. Sınıf Dik Üçgende Pisagor ve Öklid Teoremleri Nedir? Örnekler

Question

Dik üçgenlerde kenar uzunluklarını bulmak için Pisagor ve Öklid teoremlerini kullanıyoruz ama bazen hangisini nerede uygulayacağımı karıştırıyorum. Özellikle Öklid'in formüllerindeki yükseklik ve hipotenüse ait parçalar kafamı karıştırıyor. Basit örneklerle anlatırsanız daha iyi kavrayabilirim!

Answer 1

Dik Üçgende Pisagor ve Öklid Teoremleri

Dik üçgenler, geometrinin temel yapı taşlarından biridir. Bu üçgenlerde, Pisagor Teoremi ve Öklid Teoremleri önemli kurallardır. Aşağıda bu teoremlerin tanımlarını ve örneklerini bulabilirsiniz.

1. Pisagor Teoremi

Bir dik üçgende, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Matematiksel olarak:

\( a^2 + b^2 = c^2 \)

Örnek: Dik kenarları 3 cm ve 4 cm olan bir üçgenin hipotenüsünü bulalım.

• \( 3^2 + 4^2 = c^2 \)
• \( 9 + 16 = c^2 \)
• \( c^2 = 25 \)
• \( c = 5 \) cm

2. Öklid Teoremleri

Öklid, dik üçgenlerle ilgili iki önemli teorem sunar:

a) Öklid'in Yükseklik Teoremi

Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, hipotenüs üzerinde iki parçanın uzunluklarıyla ilişkilidir:

\( h^2 = p \cdot k \)

Burada:

• h: Hipotenüse ait yükseklik
• p ve k: Hipotenüsün yükseklikle ayrıldığı parçalar

b) Öklid'in Dik Kenar Teoremi

Dik kenarların kareleri, hipotenüs ve bu kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümüyle ilişkilidir:

• \( a^2 = p \cdot c \)
• \( b^2 = k \cdot c \)

Örnek: Hipotenüsü 10 cm ve yüksekliği 6 cm olan bir dik üçgende, hipotenüsün yükseklikle ayrıldığı parçaları bulalım.

• \( h^2 = p \cdot k \) → \( 6^2 = p \cdot k \) → \( p \cdot k = 36 \)
• \( p + k = 10 \) cm
• Denklem çözülürse \( p = 4 \) cm ve \( k = 6 \) cm bulunur.

Answer 2

9. Sınıf Dik Üçgende Pisagor ve Öklid Teoremleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Hipotenüs üzerine çizilen yükseklik 4,8 cm olduğuna göre, bu yüksekliğin ayırdığı parçaların uzunlukları aşağıdakilerden hangisidir? (Öklid Teoremi)

a) 3,6 cm ve 6,4 cm
b) 3,2 cm ve 6,8 cm
c) 4 cm ve 6 cm
d) 2,8 cm ve 7,2 cm
e) 3 cm ve 7 cm

Cevap: a) 3,6 cm ve 6,4 cm
Çözüm: Önce hipotenüsü Pisagor'dan bulalım: \( \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \) cm. Öklid'in yükseklik teoremine göre \( h^2 = p \cdot k \). \( 4,8^2 = p \cdot (10-p) \) denklemi çözülürse \( p = 3,6 \) cm ve \( k = 6,4 \) cm bulunur.

Soru 2: Şekildeki ABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC] ve [AD]⊥[BC]'dir. |BD|=9 cm ve |DC|=16 cm olduğuna göre, |AB| kaç cm'dir? (Öklid Bağıntıları)

a) 12
b) 15
c) 18
d) 20
e) 25

Cevap: b) 15
Çözüm: Öklid'in katet teoremine göre \( |AB|^2 = |BD| \cdot |BC| \). \( |BC| = 9+16 = 25 \) cm olduğundan \( |AB|^2 = 9 \cdot 25 \) ⇒ \( |AB| = \sqrt{225} = 15 \) cm.

Answer 3

9. Sınıf Dik Üçgende Pisagor ve Öklid Teoremleri Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. Pisagor teoremine göre, dik üçgende hipotenüsün karesi, diğer iki kenarın karelerinin _______.

2. Öklid teoremlerinden birine göre, dik açının hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde oluşturduğu _______ uzunluklarının çarpımına eşittir.

Doğru/Yanlış

3. ( ) Pisagor teoremi sadece eşkenar üçgenlerde geçerlidir.

4. ( ) Öklid'in yükseklik teoreminde, yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerindeki parçaların çarpımına eşittir.

Eşleştirme

• A) Pisagor Teoremi
• B) Öklid'in Alan Teoremi
• C) Öklid'in Yükseklik Teoremi

5. ( ) \( a^2 = c \cdot p \)

6. ( ) \( h^2 = p \cdot k \)

7. ( ) \( a^2 + b^2 = c^2 \)

Açık Uçlu Sorular

8. Bir dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm ise hipotenüs uzunluğunu bulunuz.

9. Hipotenüs uzunluğu 13 cm olan bir dik üçgende, bir dik kenar 5 cm ise diğer dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir?

Kısa Test

10. Aşağıdakilerden hangisi Öklid teoremlerinden biri değildir?

a) \( h^2 = p \cdot k \)

b) \( a^2 = c \cdot p \)

c) \( a + b = c \)

d) \( b^2 = c \cdot k \)

Cevaplar:

1: toplamına

2: parçalarının

3: Yanlış

4: Doğru

5: B

6: C

7: A

8: 10 cm

9: 12 cm

10: c