9. Sınıf Dik Üçgende Pisagor ve Öklid Teoremleri Nedir? Örnekler

Question

Dik üçgenlerde kenar uzunluklarını bulmak için Pisagor teoremini (a² + b² = c²) kullanıyoruz ama Öklid teoremleri biraz karmaşık geliyor. Özellikle yükseklik ve kenarlar arasındaki ilişkileri anlamakta zorlanıyorum. Basit örneklerle açıklayabilir misiniz?

Answer 1

Dik Üçgende Pisagor Teoremi

Bir dik üçgende, dik açının karşısındaki kenar (hipotenüs) ile diğer iki kenar (dik kenarlar) arasında bir ilişki vardır. Bu ilişkiyi Pisagor Teoremi açıklar:

\[ \text{Hipotenüs}^2 = \text{Birinci Dik Kenar}^2 + \text{İkinci Dik Kenar}^2 \]

Formül: \( c^2 = a^2 + b^2 \)

Örnek:

Dik kenarları 3 cm ve 4 cm olan bir üçgenin hipotenüsünü bulalım:

• \( c^2 = 3^2 + 4^2 \)
• \( c^2 = 9 + 16 = 25 \)
• \( c = \sqrt{25} = 5 \) cm

Dik Üçgende Öklid Teoremleri

Öklid, dik üçgende yükseklik ile kenarlar arasındaki ilişkiyi iki teoremle açıklar:

1. Öklid'in Yükseklik Teoremi

Dik üçgende, hipotenüse ait yüksekliğin karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir:

\[ h^2 = p \cdot k \]

2. Öklid'in Dik Kenar Teoremi

Bir dik kenarın karesi, hipotenüs ile bu kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümünün çarpımına eşittir:

• \( a^2 = p \cdot c \)
• \( b^2 = k \cdot c \)

Örnek:

Hipotenüsü 10 cm ve yüksekliğin ayırdığı parçalar \( p = 4 \) cm, \( k = 6 \) cm olan bir üçgende:

• Yükseklik: \( h^2 = 4 \cdot 6 = 24 \) → \( h = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \) cm
• Dik Kenarlar: \( a^2 = 4 \cdot 10 = 40 \) → \( a = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \) cm

Answer 2

9. Sınıf Dik Üçgende Pisagor ve Öklid Teoremleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm'dir. Hipotenüsün uzunluğu kaç cm'dir?
a) 10 cm
b) 12 cm
c) 14 cm
d) 16 cm
e) 18 cm
Cevap: a) 10 cm
Çözüm: Pisagor teoremine göre \( hipotenüs = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) cm.

Soru 2: Hipotenüsü 13 cm ve bir dik kenarı 5 cm olan dik üçgende, hipotenüse ait yükseklik kaç cm'dir? (Öklid teoremi kullanınız.)
a) 4,8 cm
b) 5 cm
c) 6 cm
d) 7,2 cm
e) 8 cm
Cevap: a) 4,8 cm
Çözüm: Önce diğer dik kenar bulunur: \( \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 \) cm. Öklid'in yükseklik bağıntısına göre \( h = \frac{5 \times 12}{13} = \frac{60}{13} \approx 4,8 \) cm.

Soru 3: Bir dik üçgende hipotenüs 15 cm ve hipotenüse ait yükseklik 7,2 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
a) 36 cm²
b) 48 cm²
c) 54 cm²
d) 60 cm²
e) 72 cm²
Cevap: c) 54 cm²
Çözüm: Alan formülü \( \frac{hipotenüs \times yükseklik}{2} \) ile hesaplanır: \( \frac{15 \times 7,2}{2} = 54 \) cm².