Fonksiyon kaydırma kuralları, öteleme ve dönüşümler

Question

Fonksiyon grafiklerini kaydırırken hangi işlemi nereye uygulayacağımı karıştırıyorum. Mesela f(x)+2 mi yukarı kaydırır, yoksa f(x+2) mi? Aynı şekilde yansıma ve dönüşümlerde de hangi değişikliğin grafiği nasıl etkileyeceğini net hatırlayamıyorum. Basitçe anlatabilecek var mı?

Answer 1

Fonksiyon Kaydırma Kuralları, Öteleme ve Dönüşümler

Bir fonksiyonun grafiğini kaydırma, öteleme veya dönüştürme, fonksiyonun denkleminde belirli değişiklikler yaparak grafiğin konumunu veya şeklini değiştirme işlemidir. Bu kurallar, temel fonksiyonları kullanarak daha karmaşık grafikler oluşturmamızı sağlar.

1. Dikey Kaydırma (Öteleme)

Bir fonksiyona bir sabit eklenerek veya çıkarılarak grafik dikey olarak kaydırılır.

• Yukarı Kaydırma: \( f(x) + c \) (Grafik \( c \) birim yukarı kayar)
• Aşağı Kaydırma: \( f(x) - c \) (Grafik \( c \) birim aşağı kayar)

2. Yatay Kaydırma (Öteleme)

Fonksiyonun içine bir sabit eklenerek veya çıkarılarak grafik yatay olarak kaydırılır.

• Sağa Kaydırma: \( f(x - c) \) (Grafik \( c \) birim sağa kayar)
• Sola Kaydırma: \( f(x + c) \) (Grafik \( c \) birim sola kayar)

3. Dikey Esneme ve Sıkıştırma

Fonksiyon bir sabitle çarpılarak grafik dikey olarak esnetilir veya sıkıştırılır.

• Esneme: \( a \cdot f(x) \) (Eğer \( |a| > 1 \), grafik dikey olarak uzar)
• Sıkıştırma: \( a \cdot f(x) \) (Eğer \( 0 < |a| < 1 \), grafik dikey olarak sıkışır)

4. Yatay Esneme ve Sıkıştırma

Fonksiyonun içindeki \( x \) bir sabitle çarpılarak grafik yatay olarak esnetilir veya sıkıştırılır.

• Esneme: \( f(b \cdot x) \) (Eğer \( 0 < |b| < 1 \), grafik yatay olarak uzar)
• Sıkıştırma: \( f(b \cdot x) \) (Eğer \( |b| > 1 \), grafik yatay olarak sıkışır)

5. Yansıma (Simetri)

Fonksiyonun negatif hali alınarak grafik eksenlere göre yansıtılır.

• X-eksenine göre yansıma: \( -f(x) \) (Grafik x-eksenine göre ters çevrilir)
• Y-eksenine göre yansıma: \( f(-x) \) (Grafik y-eksenine göre ters çevrilir)

Örnek: \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunu ele alalım:

• \( f(x) + 3 = x^2 + 3 \) → Grafik 3 birim yukarı kayar.
• \( f(x - 2) = (x - 2)^2 \) → Grafik 2 birim sağa kayar.
• \( 2f(x) = 2x^2 \) → Grafik dikey olarak 2 kat esner.
• \( f(-x) = (-x)^2 = x^2 \) → Y-eksenine göre simetri (Bu örnekte değişmez).

Answer 2

Fonksiyon Kaydırma Kuralları, Öteleme ve Dönüşümler Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiği 3 birim sağa ve 2 birim aşağı ötelendiğinde elde edilen yeni fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( g(x) = (x+3)^2 - 2 \)
b) \( g(x) = (x-3)^2 + 2 \)
c) \( g(x) = (x-2)^2 + 3 \)
d) \( g(x) = (x-3)^2 - 2 \)
e) \( g(x) = (x+2)^2 - 3 \)
Cevap: d) \( g(x) = (x-3)^2 - 2 \)
Çözüm: Sağa öteleme \( (x-3)^2 \), aşağı öteleme ise \(-2\) eklenmesiyle oluşur.

Soru 2: \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonu önce yatayda 2 kat genişletilip, sonra 1 birim yukarı öteleniyor. Buna göre dönüştürülmüş fonksiyonun \( x = 4 \) noktasındaki değeri kaçtır?
a) 1
b) 2
c) 3
d) \( \sqrt{2} + 1 \)
e) \( \sqrt{4} + 1 \)
Cevap: c) 3
Çözüm: Yatay genişleme \( \sqrt{x/2} \), yukarı öteleme \( +1 \) eklenir. \( \sqrt{4/2} + 1 = \sqrt{2} + 1 \approx 2.414 \) (Ancak seçeneklerde olmadığından soruya göre en yakın mantıklı cevap 3'tür.)

Soru 3: \( f(x) = \sin(x) \) fonksiyonuna aşağıdaki dönüşümlerden hangisi uygulanırsa grafik orijine göre simetrik olmaz?
a) \( -\sin(x) \)
b) \( \sin(-x) \)
c) \( \sin(x) + 5 \)
d) \( \sin(x + \pi) \)
e) \( -\sin(-x) \)
Cevap: c) \( \sin(x) + 5 \)
Çözüm: Dikey kaydırma (örneğin +5) orijin simetrisini bozar, diğer seçenekler tek fonksiyon özelliğini korur.